Peluang adalah perbandingan antara banyaknya kejadian yang dimaksud dengan ruang sampel. Ruang sampel adalah semua kejadian yang bisa terjadi.

$$P = \frac{\text{banyaknya kejadian yang dimaksud}}{\text{banyak semua kejadian yang bisa terjadi}}$$

Frekuensi relatif adalah perbandingan antara banyaknya kejadian yang dimaksud terjadi dengan jumlah percobaan yang dilakukan.

$$\text{Frekuensi relatif} = \frac{\text{banyaknya kejadian terjadi}}{\text{jumlah percobaan}}$$

Frekuensi harapan adalah peluang suatu kejadian dikali jumlah percobaan.

$$\text{Frekuensi harapan} = \text{peluang} \times \text{jumlah percobaan}$$

# Notasi

Peluang kejadian A dan kejadian B terjadi salah satunya:

$$P(A \cup B)$$

Peluang kejadian A dan kejadian B terjadi kedua-duanya:

$$P(A \cap B)$$

Peluang kejadian B jika A terjadi:

$$P(B | A)$$

# Peluang 2 Kejadian

# Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian yang tidak mungkin terjadi bersama-sama

Peluang salah satu kejadian terjadi.

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

# Kejadian Saling Bebas

Kejadian satu tidak mempengaruhi kejadian lain.

Peluang dua kejadian terjadi bersama-sama.

$$P(A \cap B) = P (A) \times P (B)$$

Peluang minimal satu kejadian terjadi. Karena terdapat irisan antara dua kejadian maka harus dikurangi jumlah irisan kejadian.

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$

$P(AB)$ berarti peluang kejadian A kemudian B.

# Kaidah Filling Slot

Kaidah ini digunakan untuk mengetahui jumlah berbagai susunan jika kita mengisi sesuatu (misalnya sofa).

Misalkan kita mempunyai 6 kursi dan 7 orang, maka berapa jumlah susunan yang mungkin terjadi?. Jawabannya:

Pada kursi 1, ada 7 orang yang mungkin mendudukinya. Maka orang yang belum duduk ada 6 orang.

Pada kursi 2, ada 6 orang yang mungkin mendudukinya. Maka orang yang belum duduk ada 5 orang.

Pada kursi 3, ada 5 orang yang mungkin mendudukinya. Maka orang yang belum duduk ada 4 orang.

Pada kursi 4, ada 4 orang yang mungkin mendudukinya. Maka orang yang belum duduk ada 3 orang.

Pada kursi 5, ada 3 orang yang mungkin mendudukinya. Maka orang yang belum duduk ada 2 orang.

Pada kursi 6, ada 2 orang yang mungkin mendudukinya.

Seluruh susunan yang mungkin terjadi bisa ditulis sebagai:

$$\boxed{7}\times\boxed{6}\times\boxed{5}\times\boxed{4}\times\boxed{3}\times\boxed{2}$$

# Faktorial

Faktorial digunakan untuk mengetahui jumlah berbagai susunan yang dapat terjadi dari suatu kumpulan objek.

Misalkan kita mempunyai 6 buku dan semuanya berwarna beda, maka berapa susunan yang mungkin terjadi?. Jawabannya bisa dicari dengan filling slot:

$$6! = \boxed{6}\times\boxed{5}\times\boxed{4}\times\boxed{3}\times\boxed{2}\times\boxed{1}$$

Jadi secara umum rumusnya faktorial bisa dicari dengan filling slot. Misalkan kita mempunyai $n$ objek maka berapa susunan yang mungkin terjadi?. Jadi, karena kita mengacak $n$ objek berarti ada $n$ tempat yang bisa diisi. Jadi rumusnya:

$$\begin{align*} n! & =\overbrace{n\times\underbrace{(n-1)\times(n-2)\times\ldots\times(n-(n-2))\times(n-(n-1))}_{n-1}}^{n}\\ & =n\times(n-1)\times(n-2)\times\ldots\times2\times1 \end{align*}$$

# Permutasi

Permutasi digunakan untuk mengetahui jumlah berbagai susunan yang mungkin terjadi saat objek dari suatu kumpulan dipilih beberapa dan urutan diperhatikan ($ABC \ne ACB$).

# Permutasi Tanpa Pengulangan

Permutasi tanpa pengulangan adalah permutasi yang memperbolehkan suatu objek dipilih hanya 1 kali.

Misalkan terdapat 8 orang dan 2 kursi, maka berapa jumlah susunan yang dapat terjadi?. Kita bisa menggunakan filling slot:

$$\boxed{8}\times\boxed{7}$$

Secara umum, jika kita memiliki $n$ objek dan kita harus memilih $k$ objek, maka berapa permutasi yang mungkin terjadi?

$$\begin{align*} P_{k}^{n} & =\overbrace{n\times\underbrace{(n-1)\times(n-2)\times\ldots\times(n-(k-2))\times(n-(k-1))}_{k-1}}^{k}\\ & =n\times(n-1)\times(n-2)\times\ldots\times((n-k)+2)\times((n-k)+1)\times\frac{(n-k)!}{(n-k)!}\\ & =\frac{n!}{(n-k)!} \end{align*}$$

# Permutasi Dengan Pengulangan

Permutasi dengan pengulangan adalah permutasi yang memperbolehkan suatu objek dipilih > 1 kali. Jumlah permutasi dengan pengulangan juga bisa dihitung dengan filling slot.

Misalkan, berapa jumlah kemungkinan angka yang muncul jika kita melemparkan 2 dadu?. Dengan filling slot.

$$\boxed{6}\times\boxed{6}$$

Jumlah angka yang bisa muncul tetap 6, karena setelah muncul tetap bisa muncul lagi.

Secara umum, jika kita mempunyai $n$ objek dan memilik $k$ objek maka jumlah susunan permutasi dengan pengulangan adalah:

$$\begin{align*} P & =\underbrace{n\times n\times n\times\ldots\times n\times n}_{k}\\ & =n^{k} \end{align*}$$

# Kombinasi

Kombinasi digunakan untuk mengetahui berbagai susunan yang mungkin terjadi saat suatu kumpulan objek dipilih beberapa dan urutan tidak diperhatikan ($ABC = BCA = CBA$).

Misalkan ada 8 warna cat, maka berapa jumlah campuran yang mungkin terjadi jika 2 warna dicampurkan?. Jika urutan diperhatikan, maka bisa dicari dengan permutasi atau filling slot sehingga ada $8 \times 7$.

Namun, seharusnya urutan tidak diperhatikan, karena campuran 2 cat akan sama walaupun urutannya berbeda. Ternyata 2 cat bisa di acak sebanyak $2!$, sehingga akan ada $2!$ cat yang dianggap sama. Jadi, jumlah campuran yang mungkin terjadi adalah $\dfrac{8 \times 7}{2!}$.

Secara umum, jika kita mempunyai $n$ objek dan kita memilih $k$ objek, maka berapa susunan kombinasi yang mungkin terjadi?

$$\begin{align*} C_{k}^{n} & =\frac{P_{k}^{n}}{k!}\\ & =\frac{n!}{(n-k)!k!} \end{align*}$$

Kombinasi juga kadang ditulis sebagai $\dbinom{n}{k}$