# Garis Istimewa

Semua garis di bawah merupakan garis pada segitiga yang dimulai dari suatu sudut menuju garis didepannya.

Garis Tinggi adalah garis membentuk sudut $90\degree$.

Garis Bagi adalah garis yang membagi sudut menjadi dua sudut yang sama besar.

Garis Berat adalah garis yang membagi garis di depan sudut menjadi dua sisi sama panjang.

# Luas Segitiga

Luas segitiga bisa dicari dengan menggunakan rumus:

$$L = \frac{1}{2} a t$$

$a$ merupakan alas dan $t$ merupakan tinggi. Tinggi jelas merupakan garis yang tegak lurus dengan alas dan garis dimulai dari alas ke sudut di depan alas. Sehingga bila sisi yang digunakan sebagai alas berganti maka sisi untuk tinggi juga berganti.

Misal jika alasnya $c$ maka tingginya adalah $h$ (garis dari garis $c$ ke sudut $C$). Maka luasnya:

$$L = \frac{1}{2} c h$$

# Rumus Trigonometri

Garis tinggi dapat dicari dengan menggunakan Sinus. Lihatlah segitiga di atas. Panjang $h$ dapat dicari dengan:

$$\begin{equation} \begin{split} h &= b \sin \angle A \\ &= a \sin \angle B \end{split} \end{equation}$$

Maka luasnya dapat dicari dengan:

$$\begin{equation} \begin{split} L &= \frac{1}{2} c b \sin \angle A \\ &= \frac{1}{2} c a \sin \angle B \end{split} \end{equation}$$

# Teorema Heron

Kadang kala mencari tinggi sangat sulit namun lebih mudah menentukan panjang sisi-nya. Dalam Teorema ini terdapat setengah keliling atau $s$.

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$

Jika kita mengetahui semua panjang sisi-sisinya kita bisa mencari cosinus salah satu sudut dengan hukum cosinus. Mencari cosinus sudut $\angle B$.

$$\begin{equation} \begin{split} b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos \angle B \\ \cos \angle B &= \frac{b^2 - a^2 - c^2}{-2ac} \\ &= \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} \end{split} \end{equation}$$

Karena kita mengetahui cosinus sudut $\angle B$ kita juga bisa mengetahui sinus sudut tersebut.

$$\begin{equation} \begin{split} \sin^2 \angle B &= 1 - \cos^2 \angle B \\ &= 1 - \frac{(a^2 + c^2 - b^2)^2}{(2ac)^2} \\ &= \frac{(2ac)^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}{(2ac)^2} \\ &= \frac{(2ac + a^2 + c^2 - b^2)(2ac - a^2 - c^2 + b^2)}{(2ac)^2} \\ &= \frac{(a^2 + 2ac + c^2 - b^2)(b^2- (a^2 - 2ac + c^2))}{(2ac)^2} \\ &= \frac{((a + c)^2 - b^2)(b^2 - (a - c)^2)}{(2ac)^2} \\ &= \frac{((a + c - b)(a + c + b))((b + a - c)(b - a + c))}{(2ac)^2} \\ &= \frac{(a + c - b)(a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)}{(2ac)^2} \\ &= \frac{(2s - 2b)(2s)(2s - 2c)(2s - 2a)}{(2ac)^2}\\ &= \frac{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)}{(2ac)^2} \\ \sin \angle B &= \frac{\sqrt{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)}}{2ac} \end{split} \end{equation}$$

Dengan begitu kita dapat menggunakan rumus trigonometri untuk mencari luas.

$$\begin{equation} \begin{split} L &= \frac{1}{2} c a \sin \angle B \\ &= \frac{1}{2} c a \frac{\sqrt{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)}}{2ac} \\ &= \frac{1}{4} \sqrt{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)} \\ &= \sqrt{\frac{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)}{16}} \\ &= \sqrt{\frac{2s(2s - 2a)(2s - 2b)(2s - 2c)}{2 \times 2 \times 2 \times 2}} \\ &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \\ \end{split} \end{equation}$$

# Pertidaksamaan Segitiga

Pertidaksamaan Segitiga menyatakan bahwa jumlah panjang dua sisi segitiga harus lebih besar dari panjang sisi ketiga. Pertidaksamaan ini berlaku bagi semua jenis segitiga. Pertidaksamaan ini merupakan konsekuensi dari Hukum Cosinus dan Teorem Phytagoras.

Misal segitiga dengan panjang sisi $a$, $b$ dan $c$. Maka syarat agar terbentuk segitiga adalah:

$$\begin{align*} a + b > c && a + c > b && b + c > a \end{align*}$$

Kenapa pertidaksamaan ini berlaku:

Saat $a + b < c$ maka garis $a$ tidak cukup panjang untuk mencapai garis $b$ sehingga tidak membentuk segitiga.

Saat $a + b = c$ maka segitiga akan menjadi garis.

# Teorema Menelaus

$$\frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1$$

Bukti:

Sudut AGF dan BGD adalah sudut sehingga sama besar. Sudut FAG dan sudut FBH sama-sama siku-siku. Sudut AFG sama besar dengan sudut BFH. Karena ketiga sudutnya sama besar dan tidak aka kemiripan panjang sisi maka segitiga AFG dan BFH sebangun. Maka:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\frac{ \text{depan sudut merah } A F G }{ \text{depan sudut merah } BF H } & = \frac{ \text{depan sudut } A F G }{ \text{depan sudut } BF H } \\ \frac{ A F }{ FB } & = \frac{ a }{ b }\end{aligned} }$$

$$\frac{AF}{FB} = \frac{a}{b}$$

Sudut BDH dan CDI saling bertolak belakang sehingga sama besar. Sudut CID dan BGD adalah sudut dalam berseberangan sehingga sama besar. Segitiga BDH dan CDI memilki 2 sudut yang sama besar sehingga sudut ketiga kedua segitiga jelaslah sama besar. Karena ketiga sudutnya sama besar dan tidak ada kemiripan dalam hal panjang sisi maka segitiga BDH dan CDI sebangun. Maka:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{b}{c}$$

Segitiga AEG dan CEI sebangun. Maka:

$$\frac{CE}{EA} = \frac{c}{a}$$

Hubungan ke tiga persamaan:

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} &= \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} \times \frac {c}{a} \\ &= 1 \end{split} \end{equation}$$

# Dalil Titik Tengah

$$\frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$$

Bukti:

Segitiga ABC dan DEC sebangun. AD dan DC panjangnya sama, sehingga $AC = 2 DC$

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{DE}{AB} &= \frac{DC}{AC} \\ &= \frac{DC}{2 DC} \\ &= \frac{1}{2} \end{split} \end{equation}$$

# Titik Pertemuan Garis Berat

Saat 3 garis berat dari 3 sudut segitiga bertemu pada satu titik, maka garis berat akan terbagi oleh titik dengan perbandingan 1:2.

Bisa dibuktikan dengan Toerema Menelaus.

Sisi FI dan IC.

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{AB}{BF} \times \frac{FI}{IC} \times \frac{CE}{EA} &= 1 \\ \frac{2BF}{BF} \times \frac{FI}{IC} \times \frac{EA}{EA} &= 1 \\ 2 \times \frac{FI}{IC} &= 1 \\ \frac{FI}{IC} &= \frac{1}{2} \\ \end{split} \end{equation}$$

Sisi DI dan IA.

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{BC}{CD} \times \frac{DI}{IA} \times \frac{AF}{FB} &= 1 \\ 2 \times \frac{DI}{IA} &= 1 \\ \frac{DI}{IA} &= \frac{1}{2} \\ \end{split} \end{equation}$$

Sisi EI dan IB.

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{CA}{AE} \times \frac{EI}{IB} \times {BD}{DC} &= 1 \\ 2 \times \frac{EI}{IB} &= 1 \\ \frac{EI}{IB} &= \frac{1}{2} \end{split} \end{equation}$$

# Teorema Garis Bagi

Berasal dari Bahasa Inggris Angle Bisector Theorem.

Teorema ini menyatakan bahwa pada segitiga, garis bagi akan membagi sisi didepannya dengan perbandingannya sama dengan perbandingan kedua sisi segitiga lainnya. Panjang suatu garis hasil pembagian sebanding lurus dengan sisi segitiga yang dekat dengan garis tersebut.

Secara matematis:

$$\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$$

Bukti:

Menggunakan hukum Sinus. Untuk segitiga ACD.

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{AD}{\sin \angle ACD} &= \frac{AC}{\sin \angle ADC} \\ \frac{AD}{AC} &= \frac{\sin \angle ACD}{\sin \angle ADC} \tag{1} \end{split} \end{equation}$$

Untuk segitiga BCD.

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{BD}{\sin \angle BCD} &= \frac{BC}{\sin \angle BDC} \\ \frac{BD}{BC} &= \frac{\sin \angle BCD}{\sin \angle BDC} \tag{2} \end{split} \end{equation}$$

Karena sudut ACD dan sudut BCD sama besarnya maka:

$$\sin \angle ACD = \sin \angle BCD$$

Karena sudut ADC dan sudut BDC adalah sudut suplementer maka:

$$\begin{equation} \begin{split} \sin \angle ADC &= \sin (180\degree - \angle BDC) \\ &= \sin \angle BDC \end{split} \end{equation}$$

Persamaan 2 bisa diubah menjadi:

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{BD}{BC} &= \frac{\sin \angle BCD}{\sin \angle BDC} \\ &= \frac{\sin \angle ACD}{\sin \angle ADC} \tag{3} \end{split} \end{equation}$$

Gabungkan persamaan 1 dan 3:

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{BD}{BC} &= \frac{AD}{AC} \\ \frac{AD}{BD} &= \frac{AC}{BC} \end{split} \end{equation}$$

# Kasus Khusus Teorema Stewart

Teorema ini bisa digabung dengan Teorema Stewart dan menghasilkan kasus khusus dari Teorema Stewart. Perbandingan garis bagi bisa ditulis sebagai:

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{AD}{BD} &= \frac{AC}{BC} \\ AD &= \frac{AC \times BD}{BC} \end{split} \end{equation}$$

Teorema Stewart pada segitiga di atas:

$$\begin{equation} \begin{split} BC^2 AD + AC^2 BD &= AB (CD^2 + AD \times BD) \\ BC^2 \frac{AC \times BD}{BC} + AC^2 BD &= (AD + BD)(CD^2 + AD \times BD) \\ BC \times AC \times BD + AC^2 BD &= (\frac{AC \times BD}{BC} + BD)(CD^2 + AD \times BD) \\ AC \times \cancel{BD} (BC + AC) &= \cancel{BD}(\frac{AC}{BC} + 1)(CD^2 + AD \times BD) \\ AC (\cancel{BC + AC}) &= \frac{\cancel{AC + BC}}{BC}(CD^2 + AD \times BD) \\ AC \times BC &= CD^2 + AD \times BD \\ CD^2 &= AC \times BC - AD \times BD \\ \end{split} \end{equation}$$

# Teorema Ceva

Pada segitiga terdapat titik $O$ (titik bebas). Terdapat 3 garis dari sudut $\angle A$, $\angle B$ dan $\angle C$ yang melewati titik $O$ dan menuju titik $D$, $E$ dan $F$. Maka berlaku persamaan berikut:

$$\frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} = 1$$