Himpunan (set) adalah kumpulan objek yang berbeda.

Anggota dari himpunan dapat disebut dengan elemen atau unsur.

$\displaystyle{ x \in A }$ berarti $x$ adalah anggota himpunan $A$.

$\displaystyle{ x \notin A }$ berarti $x$ bukan anggota himpunan A.

# Penyajian Himpunan

# Enumerasi

Penyajian dengan enumerasi dapat dilakukan dengan menulis semua anggota dari himpunan.

$$\displaystyle{ A = \left\lbrace 1 , 2 , 3 , 4 \right\rbrace }$$

$\displaystyle{ \ldots }$ bisa digunakan untuk menyatakan himpunan berlanjut dengan pola yang telah ditunjukkan oleh anggota lainnya.

$$\displaystyle{ B = \left\lbrace 2 , 4 , 6 , \ldots \right\rbrace }$$

# Simbol-Simbol Baku

Beberapa jenis himpunan sudah mempunyai simbol baku. Biasanya ditulis dengan huruf tebal. Berikut adalah contohnya:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\mathbb{N} & = \text{bilangan natural/asli} \\ & = \text{bilangan positif} \\ & = \left\lbrace 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , \ldots \right\rbrace \\ \mathbb{Z} & = \text{bilangan bulat} \\ & = \text{bilangan positif, negatif dan 0} \\ & = \left\lbrace \ldots , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , \ldots \right\rbrace \\ \mathbb{Q} & = \text{bilangan quotient/pecahan} \\ & = \left\lbrace \frac{ a }{ b } \mid a , b \in \mathbb{Z} , b \ne 0 \right\rbrace \\ \mathbb{R} & = \text{bilangan real (rasional dan irasional)} \\ \mathbb{C} & = \text{bilangan komples} \\ & = \left\lbrace a + b i \mid a , b \in \mathbb{Z} \right\rbrace\end{aligned} }$$

Terdapat juga istilah himpunan semesta. Himpunan ini berisi seluruh objek yang mungkin. Himpunan semesta bisa berbeda-beda sesuai dengan permasalahan yang dibahas. Himpunan ini dilambangkan dengan U (universal) atau S (semesta).

# Notasi Pembentuk Himpunan

Penyajian ini dilakukan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh semua anggota himpunan. Format penulisannya seperti berikut:

$$\displaystyle{ A = \left\lbrace x \mid \text{syarat agar x menjadi anggota himpunan A} \right\rbrace }$$

Aturan:

• Bagian sebelum tanda $|$ menunjukkan elemen dari himpunan. Dapat memuat lebih dari 1 variabel.
• Bagian setelah tanda $|$ disebut syarat
• $|$ dibaca dimana atau sedemikian sehingga.
• Koma (,) didalam syarat dibaca sebagai dan

Contohnya seperti ini

$$\displaystyle{ B = \left\lbrace x \mid x > 0 \right\rbrace }$$

Himpunan B berisi semua angka lebih dari 0.

# Diagram Venn

Diagram Venn pertama kali diperkenalkan oleh John Venn pada 1881.

# Kardinalitas

Kardinalitas menunjukkan jumlah anggota himpunan. Kardinalitas himpunan A bisa dilambangkan dengan $\displaystyle{ \left| A \right| }$ atau $\displaystyle{ n \left( A \right) }$. Himpunan yang memiliki anggota tidak terbatas seperti himpunan bilangan bulat memiliki kardinalitas tak terhingga ($\displaystyle{ \infty }$)

# Operasi Dasar

# Gabungan

Gabungan atau union dilambangkan dengan $\displaystyle{ \cup }$. Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B.

$$\displaystyle{ A \cup B = \left\lbrace x \mid x \in A \text{ atau } x \in B \right\rbrace }$$

# Irisan

Irisan atau disebut dengan intersection dilambangkan dengan $\displaystyle{ \cap }$. Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A dan B.

$$\displaystyle{ A \cup B = \left\lbrace x \mid x \in A , x \in B \right\rbrace }$$

# Pengurangan

Himpunan A dikurnagi (difference) B berarti anggota himpunan A dikurangi anggota himpunan B. Dengan kata lain, A dikurangi B berarti anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B.

$$\displaystyle{ \begin{aligned}A - B & = \left\lbrace x \mid x \in A , x \notin B \right\rbrace \\ & = \left\lbrace x \mid x \in A , x \in B ^{ \complement } \right\rbrace \\ & = A \cap B ^{ \complement }\end{aligned} }$$

Jika $A$ kita ganti $U$ maka:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}U - B & = U \cap B ^{ \complement } \\ U - B & = B ^{ \complement } \\ B ^{ \complement } & = U - B\end{aligned} }$$

# Komplemen

Komplemen dari himpunan A dinotasikan dengan $\displaystyle{ A ^{ \complement } }$. Komplemen dari himpunan A adalah anggota himpunan semesta ($\displaystyle{ U }$) yang bukan merupakan anggota himpunan A.

$$\displaystyle{ A ^{ \complement } = \left\lbrace x \mid x \in U , x \notin A \right\rbrace }$$

Selain dapat dinotasikan dengan $\displaystyle{ A ^{ \complement } }$, komplemen himpunan $A$ bisa dinotasikan dengan $\displaystyle{ \bar{ A } }$ atau $\displaystyle{ A ^{\prime} }$

# Beda Setangkup

Beda setangkup atau symmetric difference dilambangkan dengan $\displaystyle{ \oplus }$. Beda setangkup himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A saja atau anggota himpunan B saja. Beda setangkup himpunan A dan himpunan B bisa didefinisikan juga sebagai gabungan himpunan A dan himpunan B ($\displaystyle{ A \cup B }$) dikurangi irisan himpunan A dan himpunan B.

$$\displaystyle{ \begin{aligned}A \oplus B & = \left( A \cup B \right) - \left( A \cap B \right)\end{aligned} }$$

Beda setangkup himpunan A dan himpunan B juga bisa definisikan sebagai himpunan A dikurangi himpunan B ($\displaystyle{ A - B }$) digabungkan dengan himpunan B dikurangi himpunan A ($\displaystyle{ B - A }$).

$$\displaystyle{ A \oplus B = \left( A - B \right) \cup \left( B - A \right) }$$

Beda setangkup memiliki sifat asosiatif dan komutatif.

Beda setangkup berkorelasi dengan XOR pada logika matematika.

# Perkalian Kartesian

Perkalian kartesian dilambangkan dengan kali silang ($x$). Perkalian silang himpunan A dan B menghasilkan himpunan yang setiap anggotanya adalah pasangan terurut anggota himpunan A dan anggota himpunan B. Pasangan terurut dibuka dengan $($ dan ditutup dengan $)$. Pasangan terurut berbeda himpunan. Pada pasangan terurut, urutan diperhatikan. Dua pasangan terurut dikatan berbeda jika memilki urutan berbeda walaupun memiliki anggota yang sama. Secara matematis bisa dituliskan dengan:

$$\displaystyle{ A \times B = \left\lbrace \left( a , b \right) \mid a \in A , b \in B \right\rbrace }$$

Bisa diilustrasikan dengan tabel seperti berikut:

Berdasarkan tabel di atas kardinalitas dari hasil perklian kartesian adalah hasil kali kardinalitas kedua himpunan ($\displaystyle{ \left| A \times B \right| = \left| A \right| \times \left| B \right| }$).

Perkalian kartesian tidak komutatif ($\displaystyle{ A \times B \ne B \times A }$) kecuali jika salah satu operannya adalah himpunan kosong.

# Himpunan Kosong

Himpunan kosong (null set) adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Kardinalitas dari himpunan kosong jelaslah 0. Himpunan kosong dilambangkan dengan $\displaystyle{ \left\lbrace \right\rbrace }$ atau $\displaystyle{ \varnothing }$.

Himpunan yang berisi himpunan kosong ($\displaystyle{ \left\lbrace \left\lbrace \right\rbrace \right\rbrace }$ atau $\displaystyle{ \left\lbrace \varnothing \right\rbrace }$) bukanlah himpunan kosong karena memiliki anggota.

Himpunan kosong bisa disebut sebagai himpunan hampa atau nihil. Tapi himpunan kosong tidak sama dengan himpunan nol.

# Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian (sub set) himpunan B jika semua anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B. Himpunan B disebut dengan super set. Himpunan B disebut super set himpunan A. Himpunan A adalah himpunan bagian B dilambangkan dengan $\displaystyle{ A \subseteq B }$.

Berlaku teorema berikut:

1. Untuk A sembarang himpunan, A merupakan himpunan bagian dari A ($\displaystyle{ A \subseteq A }$).
2. Untuk A sembarang himpunan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ($\displaystyle{ \varnothing \subseteq A }$).
3. Untuk A, B dan C sembarang himpunan, saat $\displaystyle{ A \subseteq B }$ dan $\displaystyle{ B \subseteq C }$ maka $\displaystyle{ A \subseteq C }$

Himpunan itu sendiri dan himpunan kosong disebut sebagai improper subset. proper subset adalah himpunan bagian yang bukan merupakan improper subset.

Sebenarnya terdapat dua notasi untuk menyatakan apakah suatu himpunan adalah himpunan bagian yaitu: $\displaystyle{ \subset }$ dan $\displaystyle{ \subseteq }$. $\displaystyle{ A \subset B }$ menyatakan bahwa $A$ adalah proper subset dari himpunan $B$. $\displaystyle{ A \subseteq B }$ menyatakan bahwa $A$ adalah himpunan bagian (proper subset atau improper subset) dari $B$.

# Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa adalah himpunan yang berisi semua himpunan bagian yang mungkin dari suatu himpunan termasuk himpunan kosong dan himpunan itu sendiri. Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan $\displaystyle{ P \left( A \right) }$.

Kardinalitas himpunan kuasa himpunan A dirumuskan dengan $\displaystyle{ 2 ^{ \left| A \right| } }$

Untuk membuktikan kardinalitas dari himpunan kuasa, maka kita bisa membuat daftar yang berisi apakah suatu elemen dimasukkan ke dalam himpunan bagian atau tidak. Kita dapat membentuk semua kemungkinan himpunan bagian menurut daftar tersebut.

Setiap elemen pada daftar tersebut hanya bisa bernilai ya jika elemen yang bersangkutan dimasukkan atau tidak jika elemen yang bersangkutan tidak dimasukkan. Ini kemungkinan nilai dari daftar tersebut adalah $\displaystyle{ 2 ^{ \left| A \right| } }$

# Kesamaan Dua Himpunan

Himpunan A dan B dikatakan sama jika semua anggota A adalah anggota B dan semua anggota B adalah anggota A. Ini berarti himpunan A adalah himpunan bagian dari B ($\displaystyle{ A \subseteq B }$) dan himpunan B adalah himpunan bagian dari A ($\displaystyle{ B \subseteq A }$). Ini juga berarti himpunan A dikurangi himpunan B adalah himpunan kosong ($\displaystyle{ A - B = \varnothing }$) dan himpunan B dikurangi himpunan A adalah himpunan kosong ($\displaystyle{ B - A = \varnothing }$)

# Himpunan Ekivalen

Dua himpunan disebut ekivalen jika dan hanya jika kardinalitas kedua himpunan adalah sama walaupun kedua himpunan tersebut memiliki anggota yang berbeda. Himpunan $A$ dan $B$ ekivalen dapat dinotasikan $\displaystyle{ A ∽ B }$ atau $\displaystyle{ n \left( A \right) = n \left( B \right) }$ atau $\displaystyle{ \left| A \right| = \left| B \right| }$

# Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjunction) jika kedua himpunan tersebut tidak memiliki irisan ($\displaystyle{ A \cap B = \varnothing }$). Himpunan $A$ dan $B$ saling lepas dapat dinotasikan sebagai $\displaystyle{ A {/} {/} B }$

# Perampatan Operasi Himpunan

Perampatan operasi sangat membantu mempermudah penulisan operasi himpunan antara banyak himpunan.

$$\displaystyle{ \begin{aligned}A _{ 1 } \cup A _{ 2 } \cup \ldots \cup A _{ n } = \bigcup _{ i = 1 } ^{ n } A _{ i } \\ A _{ 1 } \cap A _{ 2 } \cap \ldots \cap A _{ n } = \bigcap _{ i = 1 } ^{ n } A _{ i } \\ A _{ 1 } \times A _{ 2 } \times \ldots \times A _{ n } = \times x _{ i = 1 } ^{ n } A _{ i } \\ A _{ 1 } \oplus A _{ 2 } \oplus \ldots \oplus A _{ n } = \oplus _{ i = 1 } ^{ n } A _{ i }\end{aligned} }$$

# Hukum-Hukum Aljabar Himpunan

# Hukum Identitas

# $\displaystyle{ A \cup \varnothing = A }$

# $\displaystyle{ A \cap U = A }$

# Hukum Idempoten

# $\displaystyle{ A \cup A = A }$

# $\displaystyle{ A \cap A = A }$

# Hukum Null/Dominasi

# $\displaystyle{ A \cup U = U }$

# $\displaystyle{ A \cap \varnothing = \varnothing }$

# Hukum Komplemen

# $\displaystyle{ A \cup A ^{ \complement } = U }$

# $\displaystyle{ A \cap A ^{ \complement } = \varnothing }$

# Hukum 0/1 atau Hukum Komplemen 2

# $\displaystyle{ \varnothing ^{ \complement } = U }$

# $\displaystyle{ U ^{ \complement } = \varnothing }$

# Hukum Involusi

# $\displaystyle{ \left( A ^{ \complement } \right) ^{ \complement } = A }$

# Hukum Komutatif

# $\displaystyle{ A \cup B = B \cup A }$

# $\displaystyle{ A \cap B = B \cap A }$

# Hukum Asosiatif

# $\displaystyle{ A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C }$

# $\displaystyle{ A \cap \left( B \cap C \right) = \left( A \cap B \right) \cap C }$

# Hukum Distributif

# $\displaystyle{ A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right) }$

# $\displaystyle{ A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right) }$

# Hukum Penyerapan

# $\displaystyle{ A \cup \left( A \cap C \right) = A }$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}A \cup \left( A \cap C \right) \\ \left( A \cap U \right) \cup \left( A \cap C \right) \\ A \cap \left( U \cup C \right) \\ A \cap U \\ A\end{aligned} }$$

# $\displaystyle{ A \cap \left( A \cup C \right) = A }$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}A \cap \left( A \cup C \right) \\ \left( A \cup \varnothing \right) \cap \left( A \cup C \right) \\ A \cup \left( \varnothing \cap C \right) \\ A \cup \varnothing \\ A\end{aligned} }$$

# Hukum de Morgan

# $\displaystyle{ \left( A \cup B \right) ^{ \complement } = A ^{ \complement } \cap B ^{ \complement } }$

# $\displaystyle{ \left( A \cap B \right) ^{ \complement } = A ^{ \complement } \cup B ^{ \complement } }$

# Prinsip Dualitas

Pada suatu persamaan yang benar dan mengandung himpunan, irisan, gabungan dan komplemen, jika kita mengganti irisan menjadi gabungan, gabungan menjadi irisan, himpunan kosong menjadi himpunan semesta, himpunan semesta menjadi himpunan kosong dan komplemen tetap dibiarkan maka persamaan tersebut akan tetap benar. Ini adalah prinsip dualitas.

Jika diperhatikan beberapa hukum-hukum himpunan merupakan hasil dari prinsip dualitas. Contohnya $\displaystyle{ A \cap B = B \cap A }$ bisa didapatkan dari $\displaystyle{ A \cup B = B \cup A }$ menggunakan prinsip dualitas. Ini berarti $\displaystyle{ A \cap B = B \cap A }$ adalah dual dari $\displaystyle{ A \cup B = B \cup A }$.

# Prinsip Inklusi-Eksklusi

Prinsip Inklusi-Eksklusi sangat berguna untuk menghitung kardinalitas gabungan beberapa himpunan.

Misalkan kita mempunyai himpunan $A$ dan $B$. Jika himpunan $A$ dan $B$ saling lepas maka kardinalitas gabungan kedua himpunan adalah penjumlahan kardinalitas kedua himpunan.

$$\displaystyle{ \left| A \cup B \right| = \left| A \right| + \left| B \right| }$$

Namun, jika kedua himpunan tidak saling lepas maka terdapat elemen yang dihitung 2 kali. Elemen yang dihitung 2 kali adalah anggota dari irisan kedua himpunan ($\displaystyle{ A \cap B }$). Elemen tersebut pertama kali dihitung di $\displaystyle{ \left| A \right| }$ dan kemudian dihitung lagi di $\displaystyle{ \left| B \right| }$. Untuk mengatasi masalah ini, kita tinggal mengurangi hasil penjumlahan kardinalitas dengan kardinalitas irisan kedua himpunan ($\displaystyle{ \left| A \cap B \right| }$).

$$\displaystyle{ \left| A \cup B \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| A \cap B \right| }$$

Persamaan di atas bisa kita susun ulang menjadi:

$$\displaystyle{ \left| A \cup B \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| A \cap B \right| }$$

Untuk tolak setangkup berlkau:

$$\displaystyle{ \left| A \oplus B \right| = A + B - 2 \left| A \cap B \right| }$$

Tiga himpunan:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\left| A \cup B \cup C \right| & = \left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| A \cap B \right| - \left| A \cap C \right| - \left| B \cap C \right| + \left| A \cap B \cap C \right| \\ \left| A \cap B \cap C \right| & = \left| A \cup B \cup C \right| - \left| A \right| - \left| B \right| - \left| C \right| + \left| A \cap B \right| + \left| A \right|\end{aligned} }$$

Secara general prinsip ini dapat dituliskan seperti berikut:

$$\displaystyle{ \left| \bigcup _{ i = 1 } ^{ n } A _{ i } \right| = \sum _{ i = 1 } ^{ n } \left| A _{ i } \right| - \sum _{ i = 1 , j = i + 1 } ^{ i = n - 1 , j = n } \left| A _{ i } \cap A _{ j } \right| + \sum _{ i = 1 , j = i + 1 , k = j + 1 } ^{ i = n - 2 , j = n - 1 , k = n } \left| A _{ i } \cap A _{ j } \right| + \ldots + \left( - 1 \right) ^{ n - 1 } \left| A _{ 1 } \cap A _{ 2 } \cap \ldots \cap A _{ n } \right| }$$

# Partisi

Partisi dari himpunan $A$ adalah himpunan yang berisi himpunan bagian dari himpunan $A$ dan semua himpunan bagian tersebut saling lepas dan jika semua himpunan bagian tersebut digabungkan akan menghasilkan himpunan $A$.