Teorema apit merupakan teorema pada limit. Teorema ini juga disebut square theorem, sandwhich theorem, dsb.

Misalkan kita mempunyai fungsi $f(x)$ yang terdefinisi pada $x=a$. Terdapat juga fungsi lain $g(x)$ dan $h(x)$ yang terdefinisi pada $x=a$. Pada ketiga fungsi juga mempunyai hubungan seperti ini:

$$g(x) \le f(x) \le h(x)$$

Hubungan seperti itu bisa juga ditulis sebagai

$$\lim_{x\to a} g(x) \le \lim_{x\to a} f(x) \le \lim_{x\to a} h(x)$$

Misalkan limit $x\to a$ pada fungsi $g(x)$ adalah $L_1$

$$\lim_{x\to a} g(x) = L_1$$

Misalkan limit $x \to a$ pada fungsi $h(x)$ adalah $L_2$

$$\lim_{x\to a} h(x) = L_2$$

Hubungan di atas bisa kita tulis lagi menjadi

$$L_1 \le \lim_{x\to a} f(x) \le L_2$$

Saat $L_1 = L_2$, maka kita misalkan $L_1 = L_2 = L$ ($L$ bilangan apapun) sehingga hubungan di atas bisa kita dituliskan lagi menjadi

$$L \le \lim_{x\to a} f(x) \le L$$

Kita bisa pecah menjadi dua pertidaksamaan agar lebih mudah dibaca.

$$\begin{align*} L &\le \lim_{x\to a} f(x) \\ \lim_{x\to a} f(x) &\ge L \tag{1} \\ \end{align*}$$

$$\begin{align*} \lim_{x\to a} f(x) &\le L \tag{2} \end{align*}$$

Pada pertidaksamaan 1, nilai $\lim_{x\to a} f(x)$ harus lebih besar dari atau sama dengan $L$. Pada pertidaksamaan 2, nilai $\lim_{x\to a} f(x)$ harus lebih kecil dari atau sama dengan $L$. Sepertinya tidak ada nilai $\lim_{x\to a} f(x)$ yang memenuhi kedua pertidaksamaan.

Jika nilai $\lim_{x\to a} f(x)$ lebih besar dari $L$, maka ini tidak memenuhi persaamaan ke-2. Jika nilai $\lim_{x\to a} f(x)$ lebih kecil dari $L$, maka ini tidak memenuhi persaamaan ke-1. Jika nilai $\lim_{x\to a} f(x)$ sama dengan $L$, maka ini memenuhi persamaan 1 dan 2. Jadi nilai $\lim_{x\to a} f(x)$ yang mungkin hanya $L$.

$$\lim_{x\to a} f(x) = L$$

Persmaan ini bisa kita tuliskan lagi menjadi

$$\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x)$$