Asimtot adalah sebuah garis lurus yang mendekati suatu kurva namun tidak pernah bertemu.

# Asimtot Datar

Asimtor datar adalah asimtot yang berupa garis datar. Garis datar adalah garis yang sejajar sumbu x.

Kurva dan asimtot akan saling mendekat saat nilai $x$ jauh dari origin (nilai $x$ menuju $\infty$ maupun $-\infty$). Jadi asimtot datar adalah garis datar yang didekati suatu kurva saat nilai $x$ menuju tak hingga atau minux tak hingga.

Maka garis asimtot bisa dirumuskan:

$$y = \lim_{x \to \infty} f(x)$$

atau

$$y = \lim_{x \to -\infty} f(x)$$

# Asimtot Datar Fungsi Rasional

Misalkan suatu fungsi rasional berbentuk seperti berikut:

$$\begin{align*} \lim_{x\to\infty}f(x) & =\lim_{x\to\infty}\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{1}x^{1}+b_{0}x^{0}}\\ \end{align*}$$

Maka asimtot datarnya bisa dicari dengan:

$$\begin{align*} \lim_{x\to\infty}f(x) & =\lim_{x\to\infty}\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{1}x^{1}+b_{0}x^{0}}\\ & =\lim_{x\to\infty}\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{1}x^{n-(n-1)}+a_{0}x^{n-n}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{1}x^{m-(m-1)}+b_{0}x^{m-m}}\\ & =\lim_{x\to\infty}\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}\dfrac{x^{n}}{x}+\ldots+a_{1}\dfrac{x^{n}}{x^{n-1}}+a_{0}\dfrac{x^{n}}{x^{n}}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}\dfrac{x^{m}}{x}+\ldots+b_{1}\dfrac{x^{m}}{x^{m-1}}+b_{0}\dfrac{x^{m}}{x^{m}}}\\ & =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{x^{m}}\left(\frac{a_{n}+\dfrac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\dfrac{a_{1}}{x^{n-1}}+\dfrac{a_{0}}{x^{n}}}{b_{m}+\dfrac{b_{m-1}}{x}+\ldots+\dfrac{b_{1}}{x^{m-1}}+\dfrac{b_{0}}{x^{m}}}\right)\\ & =\left(\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{x^{m}}\right)\left(\lim_{x\to\infty}\frac{a_{n}+\dfrac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\dfrac{a_{1}}{x^{n-1}}+\dfrac{a_{0}}{x^{n}}}{b_{m}+\dfrac{b_{m-1}}{x}+\ldots+\dfrac{b_{1}}{x^{m-1}}+\dfrac{b_{0}}{x^{m}}}\right)\\ & =\left(\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{x^{m}}\right)\left(\frac{\lim_{x\to\infty}a_{n}+\lim_{x\to\infty}\dfrac{a_{n-1}}{x}+\ldots+\lim_{x\to\infty}\dfrac{a_{1}}{x^{n-1}}+\lim_{x\to\infty}\dfrac{a_{0}}{x^{n}}}{\lim_{x\to\infty}b_{m}+\lim_{x\to\infty}\dfrac{b_{m-1}}{x}+\ldots+\lim_{x\to\infty}\dfrac{b_{1}}{x^{m-1}}+\lim_{x\to\infty}\dfrac{b_{0}}{x^{m}}}\right)\\ & =\left(\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{x^{m}}\right)\left(\frac{\lim_{x\to\infty}a_{n}+0+\ldots+0+0}{\lim_{x\to\infty}b_{m}+0+\ldots+0+0}\right)\\ & =\left(\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{x^{m}}\right)\left(\frac{\lim_{x\to\infty}a_{n}}{\lim_{x\to\infty}b_{m}}\right)\\ & =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}a_{n}}{x^{m}b_{m}} \\ & =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n-m}a_{n}}{b_{m}} \end{align*}$$

Dari situ ternyata ada tiga kemungkinan dari nilai $n$ dan $m$.

1. Nilai $n < m$
   Maka nilai $n-m$ negatif. Maka:

   $$\begin{align*} \lim_{x\to\infty}f(x) & =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n-m}a_{n}}{b_{m}}\\ & =0 \end{align*}$$

2. Nilai $n = m$
   Maka nilai $n-m$ adalah 0. Maka:

   $$\begin{align*} \lim_{x\to\infty}f(x) & =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n-m}a_{n}}{b_{n}}\\ & =\lim_{x\to\infty}\frac{x^0a_{n}}{b_{m}}\\ & =\lim_{x\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{m}}\\ & =\frac{a_{n}}{b_{m}}\\ \end{align*}$$

3. Nilai $n > m$
   Maka nilai $n-m$ positif.

   $$\begin{align*} \lim_{x\to\infty}f(x) & =\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n-m}a_{n}}{b_{n}}\\ & =\infty\\ \end{align*}$$

# Asimtot Tegak

Asimtot tegak adalah asimtot berupa garis tegak. Garis tegak adalah garis yang tegak lurus dengan sumbu x.

Kurva dan asimtot akan saling mendekat saat nilai $y$ jauh dari origin (nilai y menuju $\infty$ maupun $-\infty$). Jadi asimtot tegak adalah garis tegak yang didekati suatu kurva saat nilai $y$ menuju tak hinga atau minus tak hingga.

Misalkan $x = c$ adalah sautu garis, maka garis tersebut bisa disebut sebagai asimtot tegak jika memenuhi:

$$\lim_{x\to c^+} f(x) = \pm \infty$$

atau

$$\lim_{x\to c^-} f(x) = \pm \infty$$

# Asimtot Tegak Fungsi Rasional

Misalkan fungsi rasional berbentuk seperti berikut:

$$f(x) = \frac{A(x)}{B(x)}$$

Nilai $f(x)$ menjadi tak hingga atau minus tak hingga saat $B(x) = 0$. Jadi asimtot tegak adalah akar dari $B(x)$.

# Asimtot Miring

Asimtot miring adalah asimtot yang berupa garis miring.

Asimtot miring dan garis miring miring saling mendekat saat nilai $x$ menuju tak hingga atau minus tak hingga.

Misalkan fungsi $f(x)$ mempunyai asimtot miring $y$ maka hubungan keduanya bisa ditulis sebagai berikut.

$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) - a(x) = 0$$

Persamaan itu juga bisa ditulis lagi sebagai:

$$\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \lim_{x\to\pm\infty} a(x)$$

# Asimtot Miring Fungsi Rasional

Misalkan fungsi rasional berbentuk seperti berikut:

$$f(x) = \frac{A(x)}{B(x)}$$

Kita bisa membagi fungsi $A(x)$ dengan fungsi $B(x)$ menghasilkan fungsi $H(x)$ dengan sisa $S(x)$. Maka fungsi $f(x)$ bisa ditulis lagi sebagai:

$$f(x) = H(x) + \frac{S(x)}{B(x)}$$

Kita bisa mengambil limit menuju tak hingga untuk menentukan garis miring.

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}H(x) + \frac{S(x)}{B(x)}$$

Pangkat tertinggi $S(x)$ jelas lebih kecil daripada pangkat tertinggi $B(x)$ karena merupakan sisa bagi. Saat $x$ menuju $\infty$ atau $-\infty$, nilai $B(x)$ jelas jauh lebih besar dari $S(x)$ sehingga $\dfrac{S(x)}{B(x)}$ sangat kecil mendekati 0. Limit bisa ditulis lagi sebagai:

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}H(x)$$

Fungsi $H(x)$ mendekati fungsi $f(x)$. Jadi $H(x)$ bisa menjadi asimtot miring dari fungsi $f(x)$. Namun fungsi $H(x)$ tidak selalu berupa garis miring. $H(x)$ akan berupa garis miring jika pangkat tertinggi $A(x)$ tepat lebih dari 1 dari pangkat tertinggi $B(x)$. Selain dari itu $H(x)$ tidak mungkin menjadi garis miring.