Matriks adalah kumpulan bilangan, ekspresi dan simbol yang disusun sebagai tabel (baris dan kolom). Matriks biasanya disimbolkan dengan huruf besar.

$$\displaystyle{ \underbrace{ \left[ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right] } _{ \displaystyle \text{n kolom} } \hspace{-5pt} \left. \vphantom{ \left( \begin{array}{c} a \\ a \\ a \end{array} \right) } \right\rbrace \text{m baris} }$$

Matriks diatas adalah matriks dengan $m$ baris dan $n$ kolom atau disebut $\displaystyle{ m \times n }$. Bilangan pada matriks disebut entri atau item. Entri matriks disimbolkan dengan huruf kecil. $\displaystyle{ a _{ i , j } }$ merepresentasikan entri matriks pada baris $i$ dan kolom $j$ pada matriks $A$.

Ordo atau ukuran matriks dientukan oleh banyaknya baru dikali banyaknya kolom.

Matriks adalah objek matematika yang merepresentasikan transformasi linear.

Saat kita menjalankan transformasi pada matriks ukuran $2 \times 2$, semua titik di ruangan akan mendapatkan perlakukan seperti ini:

• Unit vektor $\hat i$ akan diubah menjadi $i_{baru}$ (kolom pertama matriks)
• Unit vektor $\hat j$ akan diubah menjadi $j_{baru}$ (kolom kedua matriks)

Perlu diketahui bahwa unit vektor $\hat{i}$ dan unit vektor $\hat{j}$ tidak berubah.

# Macam-Macam Matriks

• Matriks bujur sangkar/persegi, matriks yang jumlah kolom dan baris sama.

$$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right] }$$

Entri dari kiri atas sampai kanan bawah disebut diagonal utama (main diagonal). Contoh $a$, $e$ dan $i$ adalah diagonal utama. Ini hanya ada di matris bujur sangkar.

• Matriks diagonal, matriks bujur sangkar dimana entri selain diagonal utama adalah 0.

$$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right] }$$

• Matriks skalar, matriks diagonal yang semua entri diagonal utamanya bernilai sama.

$$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} k & 0 \\ 0 & k \end{array} \right] }$$

Misalkan nilai yang sama adalah $k$

• Matriks identitas, matriks skalar dengan nilai 1 pada semua entri diagonal utama.

$$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] }$$

• Matriks segitiga atas, matriks bujur sangkar yang semua unsur di bawah diagonal utama bernilai 0

  $$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & c \end{array} \right] }$$

• Matriks segitiga bawah, matriks bujur sangkar yang semua unsur di atas diagonal utama bernilai 0.

  $$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} a & 0 \\ b & c \end{array} \right] }$$

• Vektor (vektor kolom), matriks dengan satu kolom.

  $$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right] }$$

  Dapat digunakan untuk menunjukkan solusi persamaan:

  $$\displaystyle{ \begin{aligned}\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] & = \left[ \begin{array}{c} 4 \\ 2 \end{array} \right] \\ x & = 4 \\ y & = 2\end{aligned} }$$

• Vektor baris, matriks dengan satu baris.

  $$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} a & b & c \end{array} \right] }$$

• Matriks Transpose, matriks yang dihasilkan dari matriks lain dengan mengubah barisnya menjadi kolom (baris ke-1 menjadi kolom ke-1, dst). Dilambangkan dengan $A^T$.
• Matriks Setangkup, matriks dengan entri baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ sama dengan entri baris ke-$j$ dan kolom ke-$i$. Secara matematis $\displaystyle{ a _{ i j } = a _{ j i } }$. Ini juga berarti bahwa transpose matriks ini merupakan dirinya sendiri ($\displaystyle{ A ^{ T } = A }$). Dengan kata lain, pada matriks terjadi percerminan terhadap diagonal.

  $$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 4 & 7 \\ 2 & 3 & 5 & 9 \\ 4 & 5 & - 1 & - 3 \\ 7 & 9 & - 3 & 10 \end{array} \right] }$$

• Matriks 0/1, matriks yang semua entrinya bernilai 0 atau 1.

  $$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right] }$$

# Operasi pada Matriks

# Penambahan dan Pengurangan antar Matriks

Penambahan dan pengurangan pada matriks hanya dapat dilakukan pada matriks dengan jumlah kolom dan baris sama. Pada penambahan, matriks hasil operasi adalah matriks dengan setiap entrinya merupakan penambahan dari entri matriks pertama dan kedua yang berada di posisi sama.

$$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{array} \right] }$$

Penjumlahan matriks bersifat komutatif ($A + B = B + A$).

Begitu juga dengan pengurangan, entri matriks hasil pengurangan adalah oengurangan entri matriks pertama dan kedua.

$$\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array} \right] }$$

Pengurangan matriks tidak bersifat komutatif ($\displaystyle{ A + B \ne B + A }$).

# Perkalian Matriks dengan Skalar (Angka)

Hasil operai perkalian ini adalah matriks dengan tiap entrinya merupakan entri matriks yang tekah dikalikan dengan skalar.

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \cdot 2 & = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{array} \right] \\ 2 \cdot \left[ \begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array} \right] & = \left[ \begin{array}{cc} 10 & 12 \\ 14 & 16 \end{array} \right]\end{aligned} }$$

Operasi ini juga disebut sebagai perkalian skalar.

# Perkalian Antar Matriks

Hasil kali perkalian ini adalah matriks. Perkalian ini hanya dapat dilakukan pada matriks dengan dimensi matriks pertama $\displaystyle{ n \times m }$ dan dimensi matriks kedua adalah $\displaystyle{ m \times p }$. Dimensi hasil matriks adalah $\displaystyle{ n \times p }$. Entri matrkks hasil pada baris $i$ kolom $j$ merupakan penjumlahan dari setiap entri baris $i$ matriks pertama dikali dengan setiap entri kolom $j$ matriks kedua. (Perkalian satu entri dengan satu entri berurutan).

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\begin{gather*} \\ A \times B = C \\ C _{ i , j } = a _{ i , 1 } b _{ 1 , j } + a _{ i , 2 } b _{ 2 , j } + \ldots + a _{ i , m } b _{ 1 , m } \\ \end{gather*}\end{aligned} }$$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}& \left[ \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ 4 & 9 \\ 5 & 3 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{cc} 3 & 10 \\ 7 & 12 \end{array} \right] \\ & = \left[ \begin{array}{cc} 1 \times 3 + 6 \times 7 & 1 \times 10 + 6 \times 12 \\ 4 \times 3 + 9 \times 7 & 4 \times 10 + 9 \times 12 \\ 5 \times 3 + 3 \times 7 & 5 \times 10 + 3 \times 12 \end{array} \right] \\ & = \left[ \begin{array}{cc} 42 + 3 & 72 + 10 \\ 12 + 63 & 40 + 108 \\ 15 + 21 & 50 + 36 \end{array} \right] \\ & = \left[ \begin{array}{cc} 45 & 82 \\ 75 & 148 \\ 36 & 86 \end{array} \right]\end{aligned} }$$

TODO: Visualisasi Perkalian

# Determinan Matriks

Matriks persegi dapat dicari Determinan ya. Dimulai dari yang paling kecil matriks $\displaystyle{ 2 \times 2 }$. Determinan dilambangkan dengan

$$\displaystyle{ \det \left[ \begin{array}{cc} \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{array} \right] }$$

Atau

$$\displaystyle{ \left| \begin{array}{cc} \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{array} \right| }$$

Matriks $\displaystyle{ 2 \times 2 }$ dapat dicari dengan:

$$\displaystyle{ \det \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] = a d - b c }$$

Bisa dikatakan sebagai hasil perkalian entri dari kiri atas dan kanan bawah dikurangai hasil perkalian entri kanan atas dan kiri bawah.

Determinan dari matriks 3 xx 3 dapat dicari dengan

$$\displaystyle{ \begin{aligned}& \phantom{\det} \enspace \left. \begin{array}{ccc} + & - & + \end{array} \right. \\ & \det \left[ \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array} \right] = a \left| \begin{array}{cc} e & f \\ h & i \end{array} \right| - b \left| \begin{array}{cc} d & f \\ g & i \end{array} \right| + c \left| \begin{array}{cc} d & e \\ g & h \end{array} \right|\end{aligned} }$$

Bisa dikatakan setiap 3 entri paling atas dikalikan dengan deteriman dari entri-entri matriks selain entri yang di paling atas dan di bawahnya. Lalu hasil perkalian tersebut dilakukan operasi dengan hasil perkalian lainnya dan operasinya berdasarkan tanda di atas setiap entri paling atas yang dikalikan. Tanda tersebut berubah berdasarkan kolom, kolom 1 tanda +, kolom 2 tanda -, kolom 3 tanda + dan seterusnya.

# Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matris yang berisi transformasi yang tidak melakukan apapun.

# Determinan Matriks

Determinan matriks menentukan pembesaran area setelah dilakukan transformasi dari matriks.

# Perkalian Matriks dengan Vektor

Perkalian matriks dengan vektor berarti kita menerapkan transformasi matriks ke vektor.

# Perkalian Matriks dengan Matriks

Perkalian matriks dengan matriks akan menghasilkan matriks yang berisi transformasi awal.

Transformasi dilakukan dari matriks paling kanan menuju matriks paling kiri (seperti fungsi).

Secara lebih umum perkalian matriks dilakukan dengan mengalikan baris matriks kiri dengan kolom matriks kanan

# Invers Matriks

Invers dari matriks adalah matriks yang berisi transformasi kebalikan dari matriks yang di maksud.

Invers dari matriks rotasi $90\degree$ adalah matriks rotasi $-90\degree$