# Dari Segitiga 72-36-72

Untuk mengetahuinya kita membuat segitiga sama kaki dengan sudut $72\degree-36\degree-72\degree$ dan panjang kaki 1.

Pertama kita cari tahu panjang AC, kita misalkan $AC = x$. Kita buat garis bagi dari C sehingga memotong AB di D sehingga sudut $\angle ACB$ terbelah menjadi 2 sudut yang sama besar yaitu $\angle ACD$ dan $\angle DCB$. Keduanya berarti mempunyai besar $36\degree$.

Sekarang kita menentukan besar 2 sudut lain yang belum diketahui.

$$\begin{align*} \angle CAD+\angle ACD+\angle CDA & =180\degree\\ \angle CDA & =180\degree-72\degree-36\degree\\ \angle CDA & =72\degree\\ \angle DCB+\angle CBD+\angle BDC & =180\degree\\ \angle CDA & =180\degree-36\degree-36\degree\\ \angle CDA & =108\degree \end{align*}$$

$\triangle ACD$ adalah segitiga sama kaki, sehingga sisi di depan sudut $72\degree$ mempunyai panjang sama. Bisa diutlis $CD = AC = x$

$\triangle BCD$ adalah segitiga sama kaki, sehingga sisi di depan sudut $36\degree$ mempunyai panjang sama. Bisa ditulis: $BD = CD = x$

Panjang AB adalah 1, sehingga

$$\begin{align*} AD &= AB - BD\\ &= 1 - x \end{align*}$$

Sudut internal segitiga ABC dan ACD sama sehingga kedua segitiga sebangun. Maka:

$$\begin{align*} \triangle ABC & \sim\triangle ACD\\ \frac{\text{depan }72\degree}{\text{depan }36\degree} & =\frac{\text{depan }72\degree}{\text{depan }36\degree}\\ \frac{1}{x} & =\frac{x}{AD}\\ AD & =x^{2} \end{align*}$$

Kita samakan kedua persamaan yang menyatakan panjang AD

$$\begin{align*} AD & =AD\\ x^{2} & =1-x\\ \underbrace{x^{2}}_{a}+\underbrace{x}_{b}-\underbrace{1}_{c} & =0\\ x & =\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(1)(-1)}}{2\cdot1}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{1-(-4)}}{2}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\ & =\frac{\pm\sqrt{5}-1}{2} \end{align*}$$

Karena AD adalah jarak maka harus positif sehingga:

$$x =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Pada segitiga awal tadi, kita buat garis tinggi dari B yang memotong AC di E.

$\triangle ABC$ terpotong menjadi 2 segitiga siku-siku. Karena sudut $\angle BAE = 72 \degree$, maka $\angle ABE = 90\degree - 72\degree = 18\degree$. Karena sudut $\angle BCE = 72 \degree$, maka $\angle CBE = 90\degree - 72\degree = 18\degree$. Karena mempunyai sudut internal yang sama, berbagi satu garis sebagai sisidan salah satu sisinya sama panjang, maka $\triangle ABE$ kongruen dengan $\triangle BCE$. Jadi sisi didepan sudut $18\degree$ pada kedua segitiga mempunyai panjang sama ($AE = EC$). Sehingga:

$$\begin{align*} AE & =\frac{1}{2}AC\\ & =\frac{1}{2}x\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\\ & =\frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{align*}$$

Sekarang kita bisa mengetahui panjang EB dengan menggunakan Hukum Phytagoras.

$$\begin{align*} AE^{2}+BE^{2} & =AB^{2}\\ BE^{2} & =AB^{2}-AE^{2}\\ & =1^{2}-\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^{2}\\ & =1-\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}\\ & =\frac{16}{16}-\frac{6-2\sqrt{5}}{16}\\ & =\frac{16-6+2\sqrt{5}}{16}\\ & =\frac{10+2\sqrt{5}}{16}\\ BE & =\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{16}}\\ & =\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} \end{align*}$$

Sekarang kita bisa mengetahui nilai trigonometri sudut $18\degree$ dan $72\degree$

$$\begin{align*} \sin(\angle ABE) & =\sin(18\degree)\\ & =\frac{AE}{EB}\\ & =\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ \cos(\angle ABE) & =\cos(18\degree)\\ & =\frac{BE}{AB}\\ & =\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\ \tan(\angle ABE) & =\tan(18\degree)\\ & =\frac{AE}{BE}\\ & =\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)\left(\frac{4}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)\\ & =\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\ & =\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\\ & =\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{10+2\sqrt{5}}}\times\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{10-2\sqrt{5}}}\\ & =\sqrt{\frac{(5-2\sqrt{5}+1)(10-2\sqrt{5})}{100-4\cdot5}}\\ & =\sqrt{\frac{(6-2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}{100-20}}\\ & =\sqrt{\frac{2(3-\sqrt{5})2(5-\sqrt{5})}{80}}\\ & =\sqrt{\frac{(3-\sqrt{5})(5-\sqrt{5})}{20}}\\ & =\sqrt{\frac{15-3\sqrt{5}-5\sqrt{5}+5}{20}}\\ & =\sqrt{\frac{20-8\sqrt{5}}{20}}\\ & =\sqrt{\frac{4(5-2\sqrt{5})}{4(5)}}\\ & =\sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{5}}\\ \sin(\angle BAE) & =\sin(72\degree)\\ & =\frac{BE}{AB}\\ & =\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\ \cos(\angle BAE) & =\cos(72\degree)\\ & =\frac{AE}{EB}\\ & =\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ \tan(\angle BAE) & =\tan(72\degree)\\ & =\frac{BE}{AE}\\ & =\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(\frac{4}{\sqrt{5}-1}\right)\\ & =\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}\\ & =\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}}\\ & =\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}-1\right)^{2}}}\\ & =\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{5-2\sqrt{5}+1}}\\ & =\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{6-2\sqrt{5}}}\\ & =\sqrt{\frac{2\left(5+\sqrt{5}\right)}{2\left(3-\sqrt{5}\right)}}\\ & =\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}\times\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}\\ & =\sqrt{\frac{15+5\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5}{9-5}}\\ & =\sqrt{\frac{20+8\sqrt{5}}{4}}\\ & =\sqrt{\frac{4\left(5+2\sqrt{5}\right)}{4}}\\ & =\sqrt{5+2\sqrt{5}} \end{align*}$$

# Kesimpulan

Nilai fungsi trigonometri sudut $15\degree$

$$\begin{align*} \sin(18\degree) &=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ \cos(18\degree) &=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\ \tan(18\degree) &=\sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{5}}\\ \sin(72\degree) &=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\\ \cos(72\degree) &=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ \tan(72\degree) &=\sqrt{5+2\sqrt{5}} \end{align*}$$