Logaritma adalah fungsi yang merupakan kebalikan eksponen. Logaritma digunakan untuk mencari pangkat berapa dari suatu angka untuk menghasilkan suatu nilai. Notasi logaritma:

$$\begin{aligned} ^a \log b &= c &\text{Umum di sekolah}\\ \log_{a}(b) &= c &\text{Umum di Bahasa Inggris}\\ &&\text{Untuk $a > 0$, $a \ne 1$ dan $b > 0$} \end{aligned}$$

Jika $a$ tidak ditulis maka $a = 10$. Notasi tersebut bisa dibaca $a$ pangkat berapa yang dapat menghasilkan $b$?. Jawabannya adalah $c$. Notasi tersebut bisa diubah menjadi notasi eksponen:

$$a^c = b$$

Alasan log hanya berlaku jika $a \ne 1$, karena 1 pangkat berapapun selalu menghasilkan 1. $a > 0$ berarti hanya bilangan basis positif yang diperbolehkan. Akibatnya $b > 0$, karena pangkat dari bilangan positif jelas bilangan positif.

# Sifat-Sifat

• $^a \log a = 1$
  Bukti:

  $$a^1 = a$$

• $^a \log 1 = 0$
  Bukti:

  $$a^0 = 1$$

• $^a \log a^n = n$
  Bukti:

  $$a^n = a^n$$

• $^a \log (b \times c) = ^a \log b + ^a \log c$
  Bukti:

  $$\begin{aligned} ^a \log (b \times c) &= d \\ a^d &= b \times c \\ ^a \log b &= e \\ a^e &= b \\ ^a \log c &= f \\ a^f &= c \\ a^d &= b \times c \\ &= a^e \times a^f \\ &= a^{e + f} \\ d &= e + f \\ ^a \log (b \times c) &= ^a \log b + ^a \log c \end{aligned}$$

• $^a \log \left(\dfrac{b}{c}\right) = ^a \log b - ^a \log c$
  Bukti:

  $$\begin{aligned} ^a \log \left(\frac{b}{c}\right) &= d \\ a^d &= \frac{b}{c} \\ ^a \log b &= e \\ a^e &= b \\ ^a \log c &= f \\ a^f &= c \\ a^d &= \frac{b}{c} \\ &= \frac{a^e}{a^f} \\ &= a^{e - f} \\ d &= e - f \\ ^a \log \left(\frac{b}{c}\right) &= ^a \log b - ^a \log c \end{aligned}$$

  Pembuktiannya hampir sama dengan pembuktian perkalian di dalam log, hanya saja karena pembangian antara eksponen dengan basis sama menghasilkan eksponen dengan basis sama namun dengan pangkatnya pengurangan kedua pangkat eksponen.
• $^a \log\left(\dfrac{b}{c}\right) = - ^a \log \frac{c}{b}$. Bukti:

  $$\begin{aligned} ^a \log \left(\frac{b}{c}\right) &= ^a \log b - ^a \log c \\ &= - ^a \log c + ^a \log b \\ &= - (^a \log c - ^a \log b) \\ &= - ^a \log \frac{c}{b} \end{aligned}$$

• $a^{^a \log b} = b$. Bukti:

  $$\begin{aligned} ^a \log b &= c \\ a^c &= b \\ a^{^a \log b} &= a^c = b \end{aligned}$$

  Kita mencari $a$ pangkat berapa yang dapat menghasilkan $b$?. Kemudian memangkatkan $a$ dengan nilai yang didapatkan, maka akan kembali menghasilkan $b$.
• $^a \log b^n = n \times ^a \log b$
  Bukti:

  $$\begin{aligned} ^a \log b^n &= ^a \log (\overbrace{b \times b \times b \times ... \times b}^{\text{n faktor}}) \\ &= \overbrace{^a \log b + ^a \log b + ^a \log b + ... + ^a \log b}^{\text{n faktor}} \\ &= n \times ^a \log b \end{aligned}$$

• $^{a^m} \log b^n = \dfrac{n}{m} \times ^a \log b$
  Bukti:

  $$\begin{aligned} ^{a^m} \log b^n &= n \times {a^m} \log b \\ ^{a^m} \log b &= c \\ (a^m)^c = a^{mc} &= b \\ ^a \log b &= mc \\ \frac{1}{m} \times ^a \log b &= c \\ &= ^{a^m} \log b \\ ^{a^m} \log b^n &= n \times {a^m} \log b \\ &= \frac{n}{m} \times ^a \log b \end{aligned}$$

• $^a \log b = \dfrac{^n \log b}{^n \log a}$. $n$ adalah bilangan apapun.
  Bukti:

  $$\begin{aligned} ^a \log b &= c \\ a^c &= b \\ ^n \log b = ^n \log a^c &= d \\ d &= c \times ^n \log a \\ ^n \log b &= ^a \log b \times ^n \log a \\ ^a \log b &= \frac{^n \log b}{^n \log a} \\ \end{aligned}$$

  Digunakan untuk mencari log suatu bilangan yang sulit dicari lognya, misal $^4 \log 8$.

  $$^4 \log 8 = \frac{^2 \log 8}{^2 \log 4} = \frac{3}{2}$$

• $^a \log b = \dfrac{1}{^b \log a}$
  Bukti:

  $$\begin{aligned} ^a \log b &= \frac{^b \log b}{^b \log a} \\ &= \frac{1}{^b \log a} \end{aligned}$$

• $^a \log b \times ^b \log c = ^a \log c$
  Bukti:

  $$\begin{aligned} ^a \log b \times ^b \log c &= \frac{\cancel{^n \log b}}{^n \log a} \times \frac{^n \log c}{\cancel{^n \log b}} \\ &= \frac{^n \log c}{^n \log a} \\ &= ^a \log c \end{aligned}$$

# Grafik Fungsi Logaritma

Bentuk umum dari grafik fungsi eksponen:

$$y = k \times ^a \log x$$

dengan $a$ dan $k$ merupakan konstanta, $a \neq 1$ dan $a > 0$.

Sifanya berdasar nilai $a$.

• $a > 0$, grafik monoton naik. Karena makin besar nilai $x$ maka nilai $y$ makin besar.
• $0 < a < 1$, grafik monoton turun. Karena makin besar nilai $x$ maka nilai $y$ makin kecil.

Sifatnya berdasar nilai $k$.

• $k > 0$, grafik di atas sumbu x.
• $k < 0$, grafik di bawah sumbu x.

# Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma berbentuk $^a \log b = ^a \log c$ dengan $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$ dan $c > 0$, maka $b = c$. Variabel $a$, $b$ dan $c$ bisa merupakan fungsi atau konstanta atau variabel. Asal-usulnya:

$$\begin{aligned} ^a \log b &= ^a \log c \\ a^{^a \log c} &= b \\ a^{^a \log c} &= b \\ c &= b \end{aligned}$$

Persamaan logaritma berbentuk $^a \log c = ^b \log c$ dengan $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$, $b \neq 1$, $b \neq c$, dan $c$ > 0, maka $c = 1$. Asal-usulnya:

$$\begin{aligned} ^a \log c &= ^b \log c \\ a^{^b \log c} &= c \\ ^b \log c &= d \\ b^d &= c \\ a^{^b \log c} = c &= a^d \\ a^d &= b^d \\ d &= 0 \\ ^a \log c &= ^b \log c \\ &= d \\ &= 0 \\ a^0 &= c \\ c &= 1 \end{aligned}$$

Persamaan logaritma berbentuk $A(^a \log b)^2 + B(^a \log b) + C = 0$ dengan $A$, $B$, dan $C$ merupakan konstanta, maka persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan memisalkan $^a \log b$ dengan suatu variabel misalnya $p$. Maka persamaan berubah menjadi persamaan kuadrat. Kemudian bisa mencari nilai dari variabel $p$. Nilai dari variabel $p$ bisa disamakan kembali dengan $^a \log b$.

# Pertidaksamaan Logaritma

Bentuk pertidaksamaan logaritma:

$$^a \log b \lesseqqgtr ^a \log c$$

Maksud $\lesseqqgtr$ (tanda pertidaksamaan) adalah bisa $<$, $\leq$, $>$ atau $\geq$. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut:

$$b \lesseqqgtr c$$

Jika $a > 1$, maka fungsi monoton naik maka tanda pertidaksamaan tetap. Jika $0 < a < 1$, maka fungsi monoton turun maka tanda pertidaksamaan membalik.

Sebenarnya ini mempunyai kemiripan dengan pertidaksamaan eksponen.