# Dari Penjumlahan Sudut Cosinus

Misal $\theta = 2\alpha$ maka $\alpha = \frac{1}{2}\theta$. Berlaku

$$\begin{align*} \cos(2\alpha) & =2\cos^{2}(\alpha)-1\\ \cos(\theta) & =2\cos^{2}(\frac{1}{2}\theta)-1\\ 1+\cos(\theta) & =2\cos^{2}(\frac{1}{2}\theta)\\ \frac{1+\cos(\theta)}{2} & =\cos^{2}(\frac{1}{2}\theta)\\ \cos(\frac{1}{2}\theta) & =\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}} \end{align*}$$

Berlaku juga:

$$\begin{align*} \cos(2\alpha) & =1-2\sin^{2}(\theta)\\ \cos(\theta) & =1-2\sin^{2}(\frac{1}{2}\theta)\\ \cos(\theta)-1 & =-2\sin^{2}(\frac{1}{2}\theta)\\ -\cos(\theta)+1 & =2\sin^{2}(\frac{1}{2}\theta)\\ \frac{-\cos(\theta)+1}{2} & =\sin(\frac{1}{2}\theta)\\ \sin(\frac{1}{2}\theta) & =\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}} \end{align*}$$

Maka berlaku:

$$\begin{align*} \tan(\frac{1}{2}\theta) & =\frac{\sin(\frac{1}{2}\theta)}{\cos(\frac{1}{2}\theta)}\\ & =\frac{\left(\dfrac{\sqrt{1-\cos(\theta)}}{\sqrt{2}}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{1+\cos(\theta)}}{\sqrt{2}}\right)}\\ & =\frac{\sqrt{1-\cos(\theta)}}{\sqrt{1+\cos(\theta)}}\\ & =\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{1+\cos(\theta)}} \end{align*}$$

Karena $x^2$ dan $(-x)^2$ menghasilkan nilai sama. Maka akar dari suatu bilangan bisa menghasilkan bilangan + dan bilangan -. Dibutuhkan $\pm$ pada 3 persamaan di atas dan + atau - ditentukan oleh letak kuadran $\frac{1}{2}\theta$. Seperti fungsi sin/cos biasa yang tanda $\pm$ ditentukan oleh letak kuadran sudut.

# Kesimpulan

Untuk $\theta$ sebuah sudut apapun

$$\begin{align*} \sin(\frac{1}{2}\theta) &=\sqrt{\dfrac{1-\cos(\theta)}{2}}\\ \cos(\frac{1}{2}\theta) &=\sqrt{\dfrac{1+\cos(\theta)}{2}}\\ \tan(\frac{1}{2}\theta) &=\sqrt{\dfrac{1-\cos(\theta)}{1+\cos(\theta)}} \end{align*}$$