Derivatif merupakan operasi yang dipelajari di Kalkulus Diferensial yang merupakan cabang kalkulus.

Derivatif menunjukkan tingkat perubahan (cepat lambatnya) keluaran suatu fungsi saat masukannya berubah.

# Definisi Menurut Limit

Misalkan kita mempunyai fungsi $s(t)$ yang menunjukkan jarak yang ditempuh suatu benda saat waktu tertentu. $t$ adalah waktu dalam detik.

$$s(t) = t^2$$

Saat $t$ diubah maka nilai $s(t)$ ikut berubah. Kita ingin mencari kecepatan benda tersebut tepat pada detik ke 2 ($t = 2$). Maka digunakan

$$\begin{align*} v &= \frac{\Delta s}{\Delta t} \\ &= \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1} \end{align*}$$

Kita membutuhkan dua sampel jarak pada dua waktu yang berbeda untuk mengetahui kecepatan. Misalkan sampel pertama kita ambil pada detik ke-2. Maka waktu dan jarak sampel ke 1 adalah:

$$\begin{align*} t_1 &= t &&= 2 \\ s_1 &= s(t) &&= s(2) \end{align*}$$

Lalu dari mana sampel ke-2?. Bagaimana jika sampel kedua kita ambil pada detik ke-0?. Ini tidak bisa dilakukan. Kenapa?. Jika sampel ke-2 kita ambil pada detik ke-0, maka yang kita dapatkan adalah kecepatan rata-rata dari detik ke-0 sampai detik ke-2.

Jika sampel kedua kita ambil pada waktu yang jauh dari detik ke-2, maka kita akan mendapatkan kecepatan rata-rata dan hasilnya akan berbeda dengan kecepatan pada detik ke-2.

Bagaimana jika kita mengambil sampel kedua dari waktu yang dekat dengan waktu sampel pertama (detik ke-2). Misalkan detik ke-2.1, ini akan memberikan kecepatan rata-rata tetapi karena perbedaan waktunya cukup kecil maka ini bisa dianggap kecepatan sekitar detik ke-2.

Misal perbedaan waktu antara sampel pertama dan kedua adalah $h$.

$$\begin{align*} t_2 - t_1 &= h \\ t_2 &= 2 +h \\ s_2 &= s(2 + h) \end{align*}$$

Maka persamaan untuk kecepatan dapat ditulis ulang menjadi:

$$\begin{align*} v &= \frac{s(2 + h) - s(2)}{(2 + h) - 2} \\ &= \frac{s(2 + h) - s(2)}{h} \end{align*}$$

Persamaan tersebut akan memberikan kecepatan sekitar detik ke-2. Jika perbedaan waktunya terlalu kecil dan sampai bisa diabaikan maka persamaan tersebut akan memberikan kecepatan tepat detik ke-2. Jadi makin kecil $h$ makin akurat $v$.

Mari kita coba nilai $h = 1$.

$$\begin{align*} v & =\frac{s(2+h)-s(2)}{h}\\ & =\frac{s(2+1)-s(2)}{1}\\ & =\frac{s(3)-s(2)}{1}\\ & =3^{2}-1^{2}\\ & =9-4\\ & =5 \end{align*}$$

Kita coba lagi dengan memperkecil $h$ menjadi 0.1

$$\begin{align*} v & =\frac{s(2.1)-s(2)}{0.1}\\ & =\frac{2.1^{2}-1^{2}}{0.1}\\ & =\frac{4.41-4}{0.1}\\ & =\frac{0.41}{0.1}\\ & =4.1 \end{align*}$$

Kemudian coba lagi dengan $h = 0.01$

$$\begin{align*} v & =\frac{s(2.01)-s(2)}{0.01}\\ & =\frac{2.01^{2}-1^{2}}{0.01}\\ & =\frac{4.0401-4}{0.01}\\ & =\frac{0.0401}{0.01}\\ & =4.01 \end{align*}$$

Kemudian coba lagi dengan $h = 0.001$

$$\begin{align*} v & =\frac{s(2.001)-s(2)}{0.001}\\ & =\frac{2.001^{2}-1^{2}}{0.001}\\ & =\frac{4.004001-4}{0.001}\\ & =\frac{0.004001}{0.001}\\ & =4.001 \end{align*}$$

Kemudian kita coba lagi dengan $h = 0.0001$

$$\begin{align*} v & =\frac{s(2.0001)-s(2)}{0.0001}\\ & =\frac{2.0001^{2}-1^{2}}{0.0001}\\ & =\frac{4.00040001-4}{0.0001}\\ & =\frac{0.00040001}{0.0001}\\ & =4.0001 \end{align*}$$

Jika dicoba $h$ lebih kecil lagi $v$ akan semakin dekat dengan 4. Karena makin kecil $h$, maka makin akurat $v$, maka $v$ bisa dihitung kembali dengan limit:

$$\begin{align*} v & =\lim_{h\to0}\frac{s(2+h)-s(2)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^{2}-2^{2}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{2^{2}+4h+h^{2}-2^{2}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{4h+h^{2}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{4h}{h}+\frac{h^{2}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}4+h\\ & =4 \end{align*}$$

Bisa dikatakan kecepatan benda saat detik ke 2 adalah 4 ($v = 4$). Namun, nilai ini hanyalah perkiraan konstan terbaik bukan nilai nyata. Saat benda pada detik ke 0, nilai $v = 0$, padahal benda bergerak dengan kecepatan tertentu.

$v$ disebut juga dengan derivatif dari $s$ terhadap $t$. Karena $v$ menunjukkan perubahan $s$ saat nilai $t$ diubah. Secara umum $v$ bisa dituliskan:

$$v = \frac{ds}{dt} = \lim_{h \to 0} \frac{s(t + h) - s(h)}{h}$$

$\dfrac{ds}{dt}$ berarti derivasi $s$ terhadap $t$.

Secara umum bisa dituliskan derivatif fungsi $f$ terhadap $x$

$$\frac{df}{dx} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+h) - f(h)}{h}$$

Derivatif adalah perbandingan antara perubahan keluaran suatu fungsi dengan perubahan masukan fungsi tersebut dan perubahan masukan mendekati 0.

# Definisi Menurut Geometri

Kita bisa menggambar fungsi $f(x) = x^2$ untuk menganalisis maksud dari derivatif berdasarkan geometri.

$$\begin{align*} y &= f(x) \\ \frac{df}{dx} &= \lim_{x \to 0} \frac{f(x+h) - f(h)}{h} \end{align*}$$

Pertama kita abaikan $\lim_{x \to 0}$. Misalkan $x = 2$ dan $h = 1$ sehingga $x+h=3$.

Bisa dilihat bahwa

$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\text{perubahan y}}{\text{perubahan x}}$$

Kita tahu bahwa perbandingan perubahan $y$ dengan perubahan $x$ menunjukkan kemiringan garis. Jadi persamaan di atas menunjukkan kemiringan garis yang melewati titik $(x, f(x))$ dan $(x+h, f(x+h))$.

Sekarang kita terapkan $\lim_{h \to 0}$.

Saat $h$ mendekati 0, dua titik tadi menjadi sangat dekat sehingga garis tadi hanya menyinggung kurva dan menjadi garis singgung. Sehingga derivasi $\dfrac{df}{dx}$ menunjukkan kemiringan garis singgung.

Derivasi menunjukkan kemiringan garis singgung yang menyinggung kurva fungsi pada titik tertentu.

# Derivasi dari Konstanta

Misalkan fungsi $f(x)=5$, maka grafik fungsi tersebut akan berupa garis mendatar lurus. Gradien dari garis mendatar lurus adalah 0. Jadi $\frac{df}{dx}=0$. Ini juga berlaku saat kita mencari derivasi dari konstanta.

Bukti dengan menggunakan limit.

Misalkan $c$ adalah konstanta.

$$\begin{align*} f(x) & =c\\ \frac{df}{dx} & =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{0}{h}\\ & =0 \end{align*}$$

Derivasi dari konstanta adalah 0. Misal $c$ adalah konstanta
$\dfrac{d(c)}{dx}=0$

# Derivasi dari x

Fungsi $y=x$ memiliki gradien/kemiringan 1 jadi $\dfrac{d(x)}{dx}=1$

Bukti dengan limit:

$$\begin{align*} \frac{d(x)}{dx} & =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{h}{h}\\ & =\lim_{h\to0}1\\ & =1 \end{align*}$$

Derivasi dari $x$ adalah 1.
$\dfrac{d(x)}{dx}=1$

# Aturan Pangkat

Ada pola tertentu saat kita mencari derivasi dari $x^n$

$$\frac{d(x^n)}{dx} = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$$

Menurut teorema binomial:

$$\begin{align*} (x+h)^{n} & =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k}\\ & =\binom{n}{0}x^{n}h^{0}+\binom{n}{1}x^{n-1}h^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\binom{n}{3}x^{3}h^{3}+\ldots+\binom{n}{n}x^{n-n}h^{n}\\ & =x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}h^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\binom{n}{3}x^{3}h^{3}+\ldots+h^{n} \end{align*}$$

Maka:

$$\begin{align*} \frac{d(x^{n})}{dx} & =\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{\cancel{x^{n}}+\binom{n}{1}x^{n-1}h^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\binom{n}{3}x^{3}h^{3}+\ldots+h^{n}-\cancel{x^{n}}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{\binom{n}{1}x^{n-1}h^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{2}+\binom{n}{3}x^{3}h^{3}+\ldots+h^{n}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\binom{n}{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}h^{1}+\binom{n}{3}x^{3}h^{2}+\ldots+h^{n-1}\\ & =\binom{n}{1}x^{n-1}\\ & =\frac{n!}{(n-1)!1!}x^{n-1}\\ & =\frac{n(n-1)!}{(n-1)!}x^{n-1}\\ & =nx^{n-1} \end{align*}$$

Derivasi dari $x^n$ adalah
$\dfrac{d(x^n)}{x} = nx^{n-1}$

# Sifat Perkalian dengan Konstanta

Misalkan kita menggambar fungsi $y_1=f(x)$ dan $y_2=3f(x)$. Maka grafik fungsi pertama merupakan grafik fungsi kedua yang diperbesar ke atas 3 kali. Hal ini bisa dijabarkan dari sifat aljabar dan intuisi. Perubahan $y$ pada fungsi kedua seharusnya sama dengan 3 kali dari perubahan y pada fungsi kedua jika nilai perubahan x yang digunakan sama. Maka seharusnya gradien garis singgung pada grafik kedua sama dengan 3 kali gradien garis singgung pada grafik pertama jika posisi $x$ sama. Maka derivasi dari $\dfrac{3f(x)}{dx} = 3\dfrac{df}{dx}$. Ini juga berlaku saat fungsi dikalikan dengan konstanta lain.$\dfrac{cf(x)}{dx} = c\dfrac{df}{dx}$ dengan $c$ adalah konstanta.

Bukti dengan limit:

$$\begin{align*} g(x) & =cf(x)\\ \frac{dg}{dx} & =\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}c\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\\ \frac{dg}{dx} & =c\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ \frac{d(cf(x))}{dx} & =c\frac{df}{dx} \end{align*}$$

$c$ dapat dikeluarkan dari limit karena nilai $c$ tidak berubah saat nilai $h$ berubah (tidak dipengaruhi limit).

Sifat perkalian dengan konstanta pada derivasi
$\dfrac{d(cf(x))}{dx}=c\dfrac{df}{dx}$
$c$ adalah konstanta

# Sifat Penjumlahan

Misalkan kita menggambar grafik fungsi $y_1 = f(x)$, $y_2=g(x)$ dan $y_3 = f(x) + g(x)$. Nilai $y$ dari grafik fungsi ketiga adalah penjumlahan nilai $y$ grafik fungsi pertama dan kedua yang berada pada posisi $x$ sama.

Saat perubahan $x$ dan posisi $x$ sama, maka perubahan nilai $y$ grafik fungsi ketiga merupakan penjumlahan perubahan $y$ fungsi pertama dan kedua.

Saat kita membuat garis singgung pada ketiga grafik fungsi pada posisi sama, seharusnya gradien garis singgung fungsi ketiga sama dengan penjumlahan gradien garis singgung fungsi pertama dan kedua.

Maka $\dfrac{d(f(x) + g(x))}{dx}=\dfrac{df}{dx} + \dfrac{dg}{dx}$

Bukti dengan limit:

$$\begin{align*} \frac{d(f(x)+g(x))}{dx} & =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)+\lim_{h\to0}\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\ & =\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx} \end{align*}$$

# Sifat Perkalian

Misal kita membuat segi panjang dengan panjang $f(x)$ dan lebar $g(x)$. $x$ bisa angka apa pun. Berarti $f(x).g(x)$ adalah luas lingkaran.

Saat kita meningkatkan nilai $x$, panjang segi empat bertambah $df$, lebarnya bertambah $dg$. Lalu pertambahan luasnya adalah:

$$\Delta L = f(x)dg + g(x)df + dg\times df$$

Pertambahan luas adalah pertambahan nilai $f(x)g(x)$. Jadi

$$d(f(x)g(x)) = f(x)dg + g(x)df + dgdf$$

Saat perubahan nilai $x$ sangat kecil, perubahan nilai $df$ dan $dg$ juga sangat kecil sehingga $df\times dg$ sangat kecil mendekati 0. Jadi

$$d(f(x)g(x)) = f(x)dg + g(x)df$$

Bukti dengan limit:

$$\begin{align*} \frac{d(f(x)g(x))}{dx} & =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)\boxed{-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{(f(x+h)\boxed{-f(x)})g(x+h)+f(x)(\boxed{g(x+h)}-g(x))}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\left(\frac{(f(x+h)-f(x))g(x+h)}{h}\right)+\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}\right)\\ & =\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\lim_{h\to0}\left(g(x+h)\right)+\lim_{h\to0}\left(f(x)\right)\lim_{h\to0}\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\ & =\frac{df}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg}{dx} \end{align*}$$

Aturan perkalian pada derivasi:
$\dfrac{d(f(x)g(x))}{dx} =\dfrac{df}{dx}g(x)+f(x)\dfrac{dg}{dx}$
Bisa diingat dengan: $\text{Kiri}\times\text{dKanan} + \text{Kanan}\times\text{dKiri}$

# Aturan Rantai (Chain Rule)

Aturan ini digunakan untuk mencari derivasi dari sebuah komposisi fungsi. Misalkan kita ingin mencari derivasi dari $\dfrac{d(\sin(2x))}{dx}$. Saat kita mengubah nilai $x$, nilai $2x$ dan $\sin(2x)$ akan ikut berubah. Kita bisa menganggap $2x=h$ sehingga $\sin(2x)=\sin(h)$. Kemudian kita bisa mengambil derivasi dari $\sin(h)$ terhadap $h$.

$$\frac{d(\sin(h))}{dh}=\cos(h)$$

Persamaan bisa disusun ulang sebagai:

$$d(\sin(h))=\cos(h)dh \tag{1}$$

Kemudian kita bisa mencari derivasi dari $h$ terhadap $x$.

$$\begin{align*} \frac{dh}{dx} &= \frac{d(2x)}{dx} \\ \frac{dh}{dx} &= 2 \end{align*}$$

Persamaan bisa disusun ulang sebagai:

$$dh = 2dx \tag{2}$$

Masukan persamaan 2 ke persamaan 1.

$$\begin{align*} d(\sin(h))&=\cos(h)dh\\ &= \cos(h)2dx\\ &= 2\cos(h)dx \end{align*}$$

Persamaan bisa disusun ulang ke bentuk $\dfrac{d(\sin(2x))}{dx}$. Nilai $h$ juga dimasukkan ulang.

$$\begin{align*} \frac{d(\sin(h))}{dx} = 2\cos(h)\\ \frac{d(\sin(2h))}{dx} = 2\cos(2x)\\ \end{align*}$$

Lebih umum

Misalkan kita mencari derivasi dari $\dfrac{d(f(g(x)))}{dx}$.

Misalkan $h=g(x)$. Derivasi $f(h)$ terhadap $h$.

$$\frac{d(f(h))}{dh} = \frac{df}{dh}$$

Persamaan disusun ulang:

$$d(f(h)) = \frac{df}{dh} dh \tag{1}$$

Derivasi $h$ terhadap $x$.

$$\begin{align*} \frac{dh}{dx}&=\frac{dg}{dx}\\ dh &= \frac{dg}{dx} dx \tag{2} \end{align*}$$

Masukkan persamaan 2 ke 1

$$\begin{align*} d(f(h)) &= \frac{df}{dh} dh\\ &= \frac{df}{dh} \frac{dg}{dx} dx \end{align*}$$

Persamaan disusun ulang dan nilai $h$ dimasukkan ke persamaan.

$$\begin{align*} \frac{d(f(h))}{dx} &= \frac{df}{dh} \frac{dg}{dx}\\ \frac{d(f(g(x)))}{dx} &= \frac{df}{dg} \frac{dg}{dx}\\ \end{align*}$$

Aturan rantai pada derivatif
$\dfrac{d(f(g(x)))}{dx} = \dfrac{df}{dg} \dfrac{dg}{dx}$
$\dfrac{df}{dg}$ = derivasi $f(g(x))$ terhadap $g(x)$ yang dievaluasikan pada $g(x)$
$\dfrac{dg}{dx}$ = derivasi $g(x)$ terhadap $x$ yang dievaluasikan pada $x$

$$\displaystyle{ \frac{ d \left( \text{Luar} \left( \text{Dalam} \left( x \right) \right) \right) }{ {\text{d}x} } = \frac{ d \text{Luar} }{ d \text{Dalam} } . \frac{ d \text{Dalam} }{ {\text{d}x} } }$$

# Aturan Pembagian

Kita menggunakan sifat perkalian, aturan rantai dan sifat eksponen untuk menurunkan aturan ini.

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right) & =\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\frac{1}{g\left(x\right)}\right)\\ & =\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)^{-1}\right)\\ & =f(x)\frac{d\left(g\left(x\right)^{-1}\right)}{dx}+g\left(x\right)^{-1}\frac{d\left(f(x)\right)}{dx} \end{align*}$$

Sekarang kita harus mencari $\dfrac{d\left(g\left(x\right)^{-1}\right)}{dx}$. $g(x)^{-1}$ bisa dinyatakan sebagai komposisi dari dua fungsi.

$$\begin{align*} h\left(g\left(x\right)\right) & =g\left(x\right)^{-1}\\ h(x) & =x^{-1} \end{align*}$$

Maka

$$\frac{d\left(g\left(x\right)^{-1}\right)}{dx} =\frac{d\left(h\left(g\left(x\right)\right)\right)}{dx}$$

Sekarang kita bisa menggunakan aturan rantai:

$$\begin{align*} \frac{d\left(g\left(x\right)^{-1}\right)}{dx} & =\frac{dh}{dg}\frac{dg}{dx}\\ \frac{dh}{dx} & =-1x^{-2}\\ \frac{dh}{dg} & =-1g\left(x\right)^{-2}\\ \frac{d\left(g\left(x\right)^{-1}\right)}{dx} & =\frac{dh}{dg}\frac{dg}{dx}\\ & =-g(x)^{-2}\frac{dg}{dx} \end{align*}$$

Sekarang kita bisa memasukkan persamaan ini ke persamaan derivatif pembagian.

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right) & =f(x)\frac{d\left(g\left(x\right)^{-1}\right)}{dx}+g\left(x\right)^{-1}\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\\ & =-f(x)g(x)^{-2}\frac{dg}{dx}+g\left(x\right)^{-1}\frac{df}{dx}\\ & =\frac{-f(x)\dfrac{dg}{dx}}{g(x)^{2}}+\frac{\left(\dfrac{df}{dx}\right)}{g\left(x\right)}\\ & =\frac{\left(\dfrac{df}{dx}\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f(x)\dfrac{dg}{dx}}{g(x)^{2}}\\ & =\frac{\left(\dfrac{df}{dx}\right)}{g\left(x\right)}\times\frac{g(x)}{g(x)}-\frac{f(x)\dfrac{dg}{dx}}{g(x)^{2}}\\ & =\frac{\dfrac{df}{dx}g\left(x\right)}{g\left(x\right)^{2}}-\frac{f(x)\dfrac{dg}{dx}}{g(x)^{2}}\\ & =\frac{\dfrac{df}{dx}g\left(x\right)-f(x)\dfrac{dg}{dx}}{g\left(x\right)^{2}}\\ & =\frac{\dfrac{df}{dx}g\left(x\right)-\dfrac{dg}{dx}f(x)}{g\left(x\right)^{2}} \end{align*}$$

Sifat pembagian pada derivasi
$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right) =\dfrac{\dfrac{df}{dx}g\left(x\right)-\dfrac{dg}{dx}f(x)}{g\left(x\right)^{2}}$
Bisa diingat dengan
$\dfrac{\text{dAtas}\times\text{Bawah}-\text{dBawah}\times\text{Atas}}{\text{Bawah}^2}$

# Sifat Perpangkatkan/Eksponen

Misalnya kita ingin mencari derivasi dari $f(x) = 2^x$.

$$\begin{align*} \frac{df}{dx} & =\lim_{h\to0}\frac{2^{x+h}-2^{x}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{2^{x}2^{h}-2^{x}}{h}\\ & =\lim_{h\to0}2^{x}\frac{(2^{h}-1)}{h}\\ & =2^{x}\left(\lim_{h\to0}\frac{2^{h}-1}{h}\right) \end{align*}$$

Jika dihitung dengan kalkulator nilai dari

$$\lim_{h\to0}\frac{2^{h}-1}{h} \approx 0.69$$

Maka bisa dikatakan derivasi dari fungsi eksponen merupakan fungsi tersebut dikali dengan konstanta aneh. Kita perlu basis yang jika dicari derivasinya akan menghasilkan konstanta bernilai 1.

Kita coba jika basisnya adalah 3.

$$\lim_{h\to0}\frac{3^{h}-1}{h} \approx 1.01$$

Saat kita menggunakan basis 2 konstantanya 0.69. Saat kita menggunakan basis 3 konstantanya 1.01. Basis yang menghasilkan konstanta 1 seharusnya di bawah 3, di atas 2 dan lebih dekat dengan 3 daripada 2. Basis itu adalah $e\approx2.7$ (bilangan Euler)

$$\frac{d(e^x)}{dx} = e^{x}\left(\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}\right)$$

Kita harus mengingat definisi $e$ untuk memecahkan persamaan di atas.

$$e =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$

Misal $h=\dfrac{1}{n}$, saat $n \to \infty$, $\dfrac{1}{n}$ mendekati 0. Jadi $h \to 0$

$$e =\lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}$$

Kita bisa memasukkan ini ke persamaan tadi.

$$\begin{align*} \frac{d(e^{x})}{dx} & =e^{x}\left(\lim_{h\to0}\frac{\left(\lim_{h\to0}\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)^{h}-1}{h}\right)\\ & =e^{x}\left(\lim_{h\to0}\frac{\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)^{h}-1}{h}\right)\\ & =e^{x}\left(\lim_{h\to0}\frac{\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}\times h}-1}{h}\right)\\ & =e^{x}\left(\lim_{h\to0}\frac{\left(1+h\right)^{1}-1}{h}\right)\\ & =e^{x}\left(\lim_{h\to0}\frac{1+h-1}{h}\right)\\ & =e^{x}\left(\lim_{h\to0}\frac{h}{h}\right)\\ & =e^{x}\left(\lim_{h\to0}1\right)\\ & =e^{x} \end{align*}$$

Maka kita bisa mencari derivasi dari $2^x$. Kita menggunakan sifat dari logaritma yaitu $e^{\ln(x)}=x$ sehingga $e^{\ln(2)}=2$.

$$\begin{align*} \frac{d(2^{x})}{dx} &=\frac{d\left(\left(e^{\ln(2)}\right)^{x}\right)}{dx}\\ &=\frac{d\left(e^{x\ln(2)}\right)}{dx} \end{align*}$$

$e^{x\ln(2)}$ bisa dinyatakan sebagai komposisi fungsi.

$$\begin{align*} g(x) & =x\ln(2)\\ f(g(x) & =e^{x\ln(2)}\\ f(x) & =e^{x} \end{align*}$$

Kita bisa menari derivasinya lagi menggunakan aturan rantai.

$$\begin{align*} \frac{d(2^{x})}{dx} & =\frac{d\left(e^{x\ln(2)}\right)}{dx}\\ & =\frac{d(f(g(x)))}{dx}\\ & =\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\\ \frac{df}{dx} & =e^{x}\\ \frac{df}{dg} & =e^{g(x)}\\ & =e^{x\ln(2)}\\ \frac{dg}{dx} & =\ln(2)\\ \frac{d(2^{x})}{dx} & =\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\\ & =e^{x\ln(2)}\ln(2)\\ & =\left(e^{\ln(2)}\right)^{x}\ln(2)\\ & =2^{x}\ln(2) \end{align*}$$

Kenyataanya $\ln(2)\approx0.69$

Lebih umum:

$$\begin{align*} \frac{d(a^{x})}{dx} &=\frac{d\left(\left(e^{\ln(a)}\right)^{x}\right)}{dx}\\ &=\frac{d\left(e^{x\ln(a)}\right)}{dx} \end{align*}$$

$e^{x\ln(a)}$ bisa dinyatakan sebagai komposisi fungsi.

$$\begin{align*} g(x) & =x\ln(a)\\ f(g(x) & =e^{x\ln(a)}\\ f(x) & =e^{x} \end{align*}$$

Kita bisa mencari derivasi $a^x$ lagi menggunakan aturan rantai.

$$\begin{align*} \frac{d(a^{x})}{dx} & =\frac{d\left(e^{x\ln(a)}\right)}{dx}\\ & =\frac{d(f(g(x)))}{dx}\\ & =\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\\ \frac{df}{dx} & =e^{x}\\ \frac{df}{dg} & =e^{g(x)}\\ & =e^{x\ln(a)}\\ \frac{dg}{dx} & =\ln(a)\\ \frac{d(a^{x})}{dx} & =\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}\\ & =e^{x\ln(a)}\ln(a)\\ & =\left(e^{\ln(a)}\right)^{x}\ln(a)\\ & =a^{x}\ln(a) \end{align*}$$

Sifat eksponen pada derivasi. Misalkan $a$ adalah konstanta.
$\dfrac{a^x}{dx} = \ln(a)a^x$
$\dfrac{e^x}{dx} = e^x$

# Derivasi dari Logaritma

Misalkan kita ingin mencari derivasi dari $\log_a(x)$

$$\begin{align*} \frac{d(\log_{a}(x))}{dx} & =\lim_{h\to0}\frac{\log_{a}(x+h)-\log_{a}(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\log_{a}\left(\frac{x+h}{x}\right)\\ & =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)\\ & =\lim_{h\to0}\log_{a}\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right)\\ & =\log_{a}\left(\lim_{h\to0}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right) \end{align*}$$

Bentuk di dalam limit mirip dengan definisi $e$.

$$e =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$$

Anggap $\dfrac{h}{x}=m$, maka $h=mx$. Saat $h\to 0$, $\dfrac{h}{x} \to 0$, jadi $m \to 0$.

$$\begin{align*} \frac{d(\log_{a}(x))}{dx} & =\log_{a}\left(\lim_{m\to0}\left(1+m\right)^{\frac{1}{mx}}\right)\\ & =\log_{a}\left(\lim_{m\to0}\left(\left(1+m\right)^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{x}}\right)\\ & =\log_{a}\left(\left(\lim_{m\to0}\left(1+m\right)^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{x}}\right) \end{align*}$$

$\lim_{m\to0}\left(1+m\right)^{\frac{1}{m}}$ adalah bentuk dari $e$ dengan $n$ diganti dengan $m$.

$$\begin{align*} \frac{d(\log_{a}(x))}{dx} & =\log_{a}\left(e^{\frac{1}{x}}\right)\\ & =\frac{1}{x}\log_{a}\left(e\right) \end{align*}$$

Bentuk $\log_{a}\left(e\right)$ bisa kita ubah ke bentuk $\dfrac{\log_{k}(e)}{\log_{k}(a)}$ dengan nilai $k$ apa pun. Misalkan $k = e$.

$$\begin{align*} \frac{d(\log_{a}(x))}{dx} & =\frac{1}{x}\log_{a}\left(e\right)\\ & =\frac{1}{x}\frac{\log_{e}(e)}{\log_{e}(a)}\\ & =\frac{1}{x}\frac{1}{\ln(a)}\\ & =\frac{1}{x\ln(a)} \end{align*}$$