Eksponen merupakan bentuk ringkas dari perkalian berulang. Eksponen dinotasikan seperti berikut:

$$a^n$$

$a$ adalah bilangan pokok/basis. $n$ bilangan pangkat/eksponen. Untuk $n > 0$ eksponen dapat didefinisikan sebagai:

$$a^{n}=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{\text{sebanyak n kali / n faktor}}$$

# Sifat-Sifat

• $a^m \times a^n = a^{m+n}$
  Bukti:

  $$\begin{align*} a^{m}\times a^{n} & =\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{m\text{ faktor}}\times\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{n\text{ faktor}}\\ & =\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{(m+n)\text{ faktor}}\\ & =a^{m+n} \end{align*}$$

• $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  Bukti untuk $m > n$:

  $$\begin{align*} \frac{a^{m}}{a^{n}} & =\frac{\overbrace{a\times a\times\ldots\times a}^{m\text{ faktor}}}{\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{n\text{ faktor}}}\\ & =\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{(m-n)\text{ faktor}}\\ & =a^{m-n} \end{align*}$$

  Berlaku juga untuk $m < n$

• $\dfrac{a^m}{a^n} = \dfrac{1}{a^{n-m}}$
  Bukti untuk $n > m$:

  $$\begin{align*} \frac{a^{m}}{a^{n}} & =\frac{\overbrace{a\times a\times\ldots\times a}^{m\text{ faktor}}}{\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{n\text{ faktor}}}\\ & =\frac{1}{\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{(n-m)\text{ faktor}}}\\ & =\frac{1}{a^{n-m}} \end{align*}$$

  Berlaku juga untuk $n < m$

• $(a^m)^n = a^{m \times n}$
  Bukti:

  $$\begin{align*} (a^{m})^{n} & =\overbrace{a^{m}\times a^{m}\times\ldots\times a^{m}}^{n\text{ faktor}}\\ & =a^{\overbrace{m+m+\ldots+m}^{{\scriptstyle n\text{ faktor}}}}\\ & =a^{m\times n} \end{align*}$$

• $(a \times b)^m = a^m \times b^m$
  Bukti:

  $$\begin{align*} (a\times b)^{m} & =\underbrace{a\times b\times a\times b\times\ldots\times a\times b}_{m\text{ faktor}}\\ & =\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{m\text{ faktor}}\times\underbrace{b\times b\times\ldots\times b}_{m\text{ faktor}}\\ & =a^{m}\times b^{m} \end{align*}$$

• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}$
  Bukti:

  $$\begin{align*} \left(\frac{a}{b}\right)^{m} & =\overbrace{\frac{a}{b}\times\frac{a}{b}\times\ldots\times\frac{a}{b}}^{m\text{ faktor}}\\ & =\frac{\overbrace{a\times a\times\ldots\times a}^{m\text{ faktor}}}{\underbrace{b\times b\times\ldots\times b}_{m\text{ faktor}}}\\ & =\frac{a^{m}}{b^{m}} \end{align*}$$

# Pangkat Nol

Kita bisa gunakan fakta $0 = n - n$ untuk mengetahui jenis pangkat ini.

$$\begin{align*} a^{0} & =a^{n-n}\\ & =\frac{a^{n}}{a^{n}}\\ & =1 \end{align*}$$

Tapi jika bilangan basisnya 0 hasilnya akan berbeda.

$$\begin{align*} 0^{0} & =0^{n-n}\\ & =\frac{0^{n}}{0^{n}}\\ & =\frac{0}{0}\\ & =\text{tidak terdefinisi} \end{align*}$$

Bilangan berpangkat nol hasilnya jelas 1 kecuali jika basisnya 0.

• $a^0 = 1$, jika $a \neq 0$
• $0^0 = \text{tidak terdefinisi}$

# Pangkat Negatif

Untuk mencari tahunya kita bisa gunakan fakta bahwa $-n = 0-n$.

$$\begin{align*} a^{-n} & =a^{0-n}\\ & =\frac{a^{0}}{a^{n}}\\ & =\frac{1}{a^{n}} \end{align*}$$

Jadi, pangkat negatif didefinisikan sebagai kebalikan dari pangkat positif.

$$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$$

# Pangkat Pecahan (Tidak Sebenarnya)

Kita mulai dengan $a^{1/n}$.

$$\begin{align*} (a^{1/m})^{m} & =a^{1/m\times m}\\ & =a^{1}\\ (a^{1/m})^{m} & =a\\ a^{1/m} & =\sqrt[m]{a} \end{align*}$$

Jadi, pangkat pecahan merupakan representasi dari akar. Bilangan pembagi dari pangkat menjadi indeks dari akar.

• $a^{1/m} =\sqrt[m]{a}$
• $a^{1/2} = \sqrt{a}$
• $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$