Bentuk paling sederhana dari pertidaksamaan:

$$\begin{align*} a < c &&&& a \le c &&&& a > c &&&& a \ge c \end{align*}$$

Selanjuntnya saya akan meringkas 4 bentuk tersebut dengan notasi berikut.

$$a \lesseqqgtr c$$

Maksud $\lesseqqgtr$ (tanda pertidaksamaan) adalah bisa $<$, $\leq$, $>$ atau $\geq$.

# Sifat-Sifat Pertidaksamaan

Saat kedua ruas dikalikan dan dibagi dengan bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan dibalik.

Saat dikali/dibagi dengan bilangan positif tanda pertidaksamaan tetap.

Saat ditambah/dikurangi dengan bilangan apapun tanda pertidaksamaan tetap.

# Pertidaksamaan Rasional

Rasional = Pecahan

Pertidaksamaan yang terdapat bilangan rasional atau aljabar bentuk rasional. Bentuk umum:

$$\frac{f(x)}{g(x)} \lesseqqgtr c$$

Syarat yang harus dipenuhi adalah pembagi ($g(x)$) harus bukan nol karena jika pembagi nol hasilnya menjadi tidak terdefinisi. Ada dua teknik yang saya ketahui untuk menyelesaikan persamaan ini:

• Teknik Tanpa Perubahan Tanda

  Teknik ini saya temukan di buku cetak Matematika. Dalam teknik ini tidak ada perubahan tanda pertidaksamaan. Namun, dilarang melakukan perkalian silang karena dapat merubah tanda.

  Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kita harus memindahkan $c$ ke ruas kiri dengan pengurangan lalu menggabungkannya dengan pembagian. Sehingga pertidaksamaan bisa dicari penyelesainya.

• Teknik Dengan Perubahan Tanda

  Teknik ini saya temukan sendiri. Saat kita melakukan perkalian silang, ada dua kemungkinan yang terjadi. Penyelesaian pertidaksamaan adalah penyelesaian dari kedua kemungkinan tersebut.

  Kemungkinan pertama adalah saat pembagi ternyata lebih dari 0 (positif). Tanda pertidaksamaan tetap. Penyelesaian kemungkinan ini digabung dengan pembuat positif pembagi.

  Kemungkinan kedua adalah saat pembagi kurang dari 0 (negatif). Tanda pertidaksamaan membalik. Penyelesaian kemungkinan ini digabuang dengan pembuat negatif pembagi.

# Pertidaksamaan Irasional

Irasional = Tidak dapat diubah menjadi rasional

Pertidaksamaan yang terdapat entitas irasional. Bentuk umum:

$$\begin{align*} \sqrt{f(x)} &\lesseqqgtr a \\ \sqrt{f(x)} &\lesseqqgtr \sqrt{g(x)} \end{align*}$$

Syarat yang harus dipenuhi adalah yang di dalam akar ($f(x)$ dan $g(x)$) harus lebih dari sama 0 (bukan negatif) dan hasilnya ($a$) juga harus bukan negatif.

Cara menyelesaikannya dilakukan dengan mengkuadratkan kedua ruas.

# Pertidaksamaan Mutlak

Pertidaksamaan yang terdapat bilangan mutlak.

Persamaan berbentuk $|f(x)| \lesseqqgtr b$, mempunyai dua penyelesaian yaitu:

• Saat $f(x) > 0$, maka $f(x) \lesseqqgtr b$
• Saat $f(x) < 0$, maka $-f(x) \lesseqqgtr b$.

Tanda petidaksamaan tidak berubah.

Persamaan berbentuk $|f(x)| \lesseqqgtr |g(x)|$ dapat diubah menjadi:

$$\begin{equation} \begin{split} \sqrt{f(x)^2} &\lesseqqgtr \sqrt{g(x)^2} \\ f(x)^2 &\lesseqqgtr g(x)^2 \\ f(x)^2 - g(x)^2 &\lesseqqgtr 0 \\ (f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) &\lesseqqgtr 0 \end{split} \end{equation}$$

Karena kuadrat jelas positif untuk bilangan real, maka yang didalam akar jelas positif sehingga tidak ada syarat yang dibutuhkan.

Persamaan berbentuk $a < |f(x)| < b$. Bisa diuraikan menjadi dua persamaan yaitu $a < |f(x)|$ dan $|f(x)| < b$. Maka ada dua penyelesaian:

• Saat $f(x) > 0$, maka $a < f(x)$ dan $f(x) < b$. Bisa digabung menjadi $a < f(x) < b$
• Saat $f(x) < 0$, maka

  $$\begin{equation} \begin{split} a < -f(x) \\ -a > f(x) \\ f(x) < -a \end{split} \end{equation}$$

  dan

  $$\begin{equation} \begin{split} -f(x) < b \\ f(x) > -b \\ -b < f(x) \end{split} \end{equation}$$

  Bisa digabungkan menjadi $-b < f(x) < -a$

Persamaan berbentuk $|\dfrac{f(x)}{(g(x)}| \lesseqqgtr c$. Nilai c jelas lebih dari 0 karena karena hasil nilai mutlak jelas positif. Bisa diubah menjadi:

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} &\lesseqqgtr c \\ |f(x)| &\lesseqqgtr c|g(x)| \\ |f(x)| &\lesseqqgtr |c||g(x)| \\ |f(x)| &\lesseqqgtr |cg(x)| \\ (f(x) + cg(x))(f(x) - cg(x)) &\lesseqqgtr 0 \end{split} \end{equation}$$

Tanda pertidaksamaan tidak berubah. Karena $|g(x)|$ jelas positif tanda pertidaksamaan tidak berubah. Karena $c > 0$, maka $|c| = c$