Fungsi

Created at 2022-06-04. Updated at 2023-10-07.

Fungsi adalah hubungan/relasi yang memetakan/memasangkan setiap anggota himpunan (domain) menuju tepat 1 anggota himpunan yang lainnya (kodomain). Domain merupakan daerah asal atau variabel bebas. Kodomain merupakan daerah kawan atau varibael terikat. Setiap anggota domain harus mempunyai 1 pasangan tidak boleh lebih. Setiap anggota kodomain tidak harus mempunyai pasangan.

Contoh fungsi:

flowchart LR
    subgraph Domain
    A
    B
    C
    end
    subgraph Kodomain
    A --> 1
    B --> 2
    C --> 3
    end

Contoh bukan fungsi:

flowchart LR
    subgraph Domain
    A
    B
    C
    end
    subgraph Kodomain
    A --> 1
    A --> 2
    B --> 3
    C --> 3
    end

Contoh bukan fungsi:

flowchart LR
    subgraph Domain
    A
    B
    C
    end
    subgraph Kodomain
    A --> 1
    B --> 2
    3
    end

Contoh fungsi:

flowchart LR
    subgraph Domain
    A
    B
    C
    end
    subgraph Kodomain
    A --> 1
    B --> 1
    C --> 3
    end

Range adalah anggota kodomain yang mempunyai pasangan di domain.

Fungsi bisa dikatakan sebagai suatu proses yang membutuhkan sebuah input (masukan/argumen) dan menghasilkan output (keluaran/result). Fungsi akan menghasilkan output sama jika input sama. Konsepnya mirip dengan fungsi pada pemrograman.

Fungsi yang memetakan anggota himpunan A menuju anggota himpunan B dapat dinotasikan sebagai:

$f: A \rightarrow B$

Namun notasi tersebut tidak menjelaskan bagaimana pemetaan dilakukan. Notasi alternatifnya adalah:

$\begin{align*} x &\in A \\ f&: x \rightarrow x^2 \end{align*}$

atau

$f(x) = x^2$

atau

$\begin{align*} y &\in B \\ y &= x^2 \end{align*}$

Bisa dikatakan $y=f(x)$ . Sehingga fungsi dapat direpresentasikan sebagai grafik dengan x sebagai domain dan y sebagai kodomain. Bisa juga sebaliknya. Saat x sebagai domain, maka dalam suatu garis vertikal hanya boleh terdapat satu titik. Saat y sebagai domain maka dalam suatu garis horizontal hanya boleh terdapat satu titik.

Misalkan $\displaystyle{ f \left( a \right) = b }$ maka $b$ disebut sebagai image/bayangan dan $a$ disebut sebagai preimage/prabayangan.

Fungsi juga bisa dituliskan sebagai himpunan karena fungsi adalah relasi dan relasi adalah himpunan. Fungsi juga bisa ditulis dengan kata-kata dan kode program.

Huruf yang digunakan sebagai nama fungsi biasanya $f$ , $g$ dan $h$ .

Domain suatu fungsi dapat ditentukan secara ekplicit (jelas), contoh:

$f(x)=x+2\qquad-2<x<10$

Sehingga domain fungsi adalah angka yang dibatasi $-2<x<10$ . Jika tidak ditentukan secara jelas maka domain fungsi tersebut merupakan semua bilangan real x yang membuat fungsi terdefinisi. Contoh:

$f(x)=2x$

Karena semua bilangan real membuat fungsi $f$ terdefinisi, maka domain f adalah semua bilangan real.

$f(x) = \frac{100}{x}$

Saat $x = 0$ , maka fungsi tidak terdefinisi. Jadi domainnya adalah bilangan real selain 0.

Domain fungsi $f$ dapat disimbolkan sebagai $D_f$ . Range fungsi $f$ dapat disimbolkan sebagai $R_f$ . Domain dan Range sebagiknya ditulis dengan interval fungsi. Contoh:

$D_{f}:\{x:x\ne0,x\in\Re\}$

Domain $f$ adalah semua bilangan real selain 0. Range dapat dicari dengan mencari nilai $y$ yang menjadikan nilai $x$ terdefinisi atau dengan mencari domain dari invers fungsi atau dapat dicari berdasarkan domain fungsi. Domain dan range juga dapat ditentukan dari grafik fungsi.

# Operasi

Penjumlahan: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
Domain $D_{f+g}=D_f \cap D_g$
Pengurangan: $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
Domain $D_{f-g}=D_f \cap D_g$
Perkalian: $(f \times g)(x)=f(x) \times g(x)$
Domain $D_{f \times g}=D_f \cap D_g$
Pembagian: $(\dfrac{f}{g})(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$
Domain $D_{\dfrac{f}{g}}=D_f \cap D_g - {g(x) = 0}$
Karena saat $g(x) = 0$ , maka hasilnya tidak terdefinisi

Fungsi $(f+g)(x)$ merupakan fungsi yang menghasilkan hasil penjumlahan dari hasil fungsi $f$ dan hasil fungsi $g$ dengan $x$ sebagai masukannya. Yang lainnya juga seperti itu. Lalu kenapa domain hasil operasi adalah $D_f\cap D_g$ . Karena jika salah satu fungsi tidak terdefinisi maka operasi tidak bisa dilakukan.

# Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi adalah operasi unik fungsi yang menghasilkan fungsi yang keluarannya merupakan keluran dari suatu fungsi dengan masukannya merupakan keluaran dari fungsi lain saat masukannya merupakan masukan fungsi hasil operasi. Dinotasikan sebagai:

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

flowchart LR
    subgraph Df
        y2[y]
    end
    subgraph Rf
        y2 -->|f| z
    end
    subgraph Dg
        x
    end
    subgraph Rg
        x -->|g| y1[y]
    end

flowchart LR
    subgraph Dg
        x
        dh["Df&#x26ac;g"]
    end
    subgraph Rg
        x -->|g| y1[y]
        dh --> ifg1["Rg&cap;Df"]
    end
    subgraph Df
        ifg1 --> ifg2["Rg&cap;Df"]
        y2[y]
    end
    subgraph Rf
        y2 -->|f| z
        ifg2 -->rh["Rf&#x26ac;g"]
        dh -->|h| rh
    end

$\begin{align*} h(x) & =f(g(x))\\ y & =g(x)\\ z & =f(y)\\ h(x) & =z \end{align*}$

$\begin{align*} y & =g(x) & z & =f(y)\\ x & \in D_{g} & y & \in D_{f}\\ y & \in R_{g} & z & \in R_{f}\\ g & :x\rightarrow y & f: & y\rightarrow z \end{align*}$

Jika $R_g \cap D_f = \varnothing$ maka tidak ada bilangan real yang bisa membuat fungsi $h$ terdefinisi. Domainnya:

$D_{f\circ g} = \{x \in D_g | g(x) \in D_f\}$

Domain fungsi komposisi merupakan subhimpunan dari Domain kedua. $D_{f\circ g} \subseteq D_g$ . Range fungsi komposisi merupakan subhumpunan dari range fungsi pertama. $R_{f\circ g} \subseteq R_f$

# Jenis-Jenis Fungsi

Fungsi injektif (one to one/satu ke satu), setiap anggota kodomain hanya bisa dipetakan dengan tepat satu anggota domain.
```
flowchart LR
subgraph Domain
A
B
C
end
subgraph Kodomain
A --> 1
B --> 2
3
C --> 4
end
```

Fungsi surjektif (onto/pada), setiap anggota kodomain telah dipetakan dengan anggota domain

flowchart LR
subgraph Domain
A
B
C
D
end
subgraph Kodomain
A --> 1
B --> 2
C --> 3
D --> 3
end

Fungsi bijektif (berkoresponsden satu ke satu), injetif dan surjektif (sempurna)

flowchart LR
subgraph Domain
A
B
C
D
end
subgraph Kodomain
B --> 1
C --> 2
D --> 3
A --> 4
end

# Fungsi Invers

Fungsi Invers merupakan kebalikan dari suatu fungsi. Dilambangkan dengan pangkat -1.

$\begin{align*} f & :x\rightarrow y & y & =f(x)\\ f^{-1} & :y\rightarrow x & x & =f^{-1}(y) \end{align*}$

flowchart RL
subgraph Domain
x
end
subgraph Kodomain
y
x -->|f| y
y -->|"f^{-1}"| x
end

Hanya fungsi bijektif yang dapat dicari inversnya. Karena invers fungsi selain bijektif bukanlah fungsi melainkan hanya relasi biasa.

# Sifat Fungsi

Fungsi Identitas adalah fungsi yang keluarannya merupakan input fungsi tersebut. $I(x)=x$
$f \circ I=I \circ f=f$ . Fungsi identitas yang dimposisikan dengan fungsi lain akan menghasilkan fungsi tersebut.
$(f^{-1})^{-1}=f$ . Invers dari suatu invers fungsi adalah fungsi asal
$(g\circ f)^{-1} = (f^{-1} \circ g^{-1})$ atau $(f\circ g)^{-1} = (g^{-1} \circ f^{-1})$
$(f\circ f^{-1})(x)=x=I(x)$ atau $(f^{-1} \circ f)(x)=x=I(x)$ . Karena kita mencari keluaran suatu fungsi dan mencari input suatu fungsi agar menghasilkan keluaran fungsi tadi.
$f\circ (g \circ h)=(f\circ g)\circ h$ (asosiatif). Jika $R_h \cap D_g \ne \varnothing$ , $R_{g\circ h} \cap D_f \ne \varnothing$ , $R_g \cap D_f \ne \varnothing$ dan $R_h \cap D_{f\circ g} \neq \varnothing$