# Rumus Jumlah

# Rumus Sin Jumlah Sudut Menggunakan Luas

Kita bisa menggunakan pengabungan dua segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku pertama mempunyai sudut $\alpha$ serta mempunyai sisi $a$ dan $c$. Segitiga siku-siku kedua mempunyai sudut $\beta$ serta mempunyai sisi $b$ dan $d$. Kedua segitiga mempunyai tinggi yang sama yaitu $t$.

Kedua segitiga bisa kita gabungkan membentuk segitiga sepert berikut:

Pada segitiga tersebut berlaku:

$$\begin{align*} \sin(\alpha) &= \frac{a}{c}\\ \cos(\alpha) &= \frac{t}{c}\\ \sin(\beta) &= \frac{b}{d}\\ \cos(\beta) &= \frac{t}{d}\\ \end{align*}$$

Luas segitiga dapat dicari dengan $t$ sebagai garis tinggi dan $a + b$ sebagai alas.

$$\begin{align*} L &= \frac{1}{2}(a + b)t\\ &= \frac{1}{2}(\sin(\alpha)c + \sin(\beta)d)t\\ \end{align*}$$

Kita bisa merotasi segitiga sehingga sisi $d$ menjadi alas.

Misalkan $s$ adalah garis tinggi segitiga yang tegak lurus dengan sisi $d$. Pada segitiga berlaku:

$$\begin{align*} \sin(\alpha + \beta) &= \frac{s}{c} \\ s &= \sin(\alpha + \beta) c \end{align*}$$

Luas segitiga dapat dicari dengan $d$ sebagai alas dan $s$ sebagai tinggi:

$$\begin{align*} L &= \frac{1}{2}ds \\ &= \frac{1}{2}d(\sin(\alpha + \beta)c) \\ &= \frac{1}{2}cd\sin(\alpha + \beta) \end{align*}$$

Luas segitga tetap walau telah dirotasi sehingga kedua persamaan dapat disamakan.

$$\begin{align*} L & =L\\ \frac{1}{2}cd\sin(\alpha+\beta) & =\frac{1}{2}(\sin(\alpha)c+\sin(\beta)d)t\\ cd\sin(\alpha+\beta)( & =(\sin(\alpha)c+\sin(\beta)d)t\\ \sin(\alpha+\beta) & =\frac{(\sin(\alpha)c+\sin(\beta)d)t}{cd}\\ \sin(\alpha+\beta) & =\left(\frac{\sin(\alpha)c}{cd}+\frac{\sin(\beta)d}{cd}\right)t\\ \sin(\alpha+\beta) & =\left(\frac{\sin(\alpha)}{d}+\frac{\sin(\beta)}{c}\right)t\\ \sin(\alpha+\beta) & =\sin(\alpha)\frac{t}{d}+\sin(\beta)\frac{t}{c}\\ \sin(\alpha+\beta) & =\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\\ \sin(\alpha+\beta) & =\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta) \end{align*}$$

# Menggunakan Dua Segitiga

Segitiga ABC, ADE dan CDE siku-siku. AE akan digunakan sebagai acuan.

$$\begin{align*} \sin(\alpha+\beta) & =\frac{BE}{AE}\\ \cos(\alpha+\beta) & =\frac{AB}{AE}\\ \sin(\alpha) & =\frac{BC}{AC}\\ & =\frac{CD}{CE}\\ \cos(\alpha) & =\frac{AB}{AC}\\ & =\frac{DE}{CE}\\ \sin(\beta) & =\frac{DE}{AE}\\ \cos(\beta) & =\frac{AD}{AE}\\ AD & =AC+CD\\ BE & =BC+CE\\ CE & =\frac{DE}{\cos(\alpha)}\\ & =\frac{AE\sin(\beta)}{\cos(\alpha)}\\ AC & =AD-CD\\ & =AE\cos(\beta)-CE\sin(\alpha)\\ & =AE\cos(\beta)-\frac{AE\sin(\beta)}{\cos(\alpha)}\sin(\alpha)\\ & =AE\left(\cos(\beta)-\frac{\sin(\beta)\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)\\ \sin(\alpha+\beta) & =\frac{BE}{AE}\\ & =\frac{BC+CE}{AE}\\ & =\frac{AC\sin(\alpha)+\dfrac{AE\sin(\beta)}{\cos(\alpha)}}{AE}\\ & =\frac{AE\left(\cos(\beta)-\dfrac{\sin(\beta)\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)\sin(\alpha)+\dfrac{AE\sin(\beta)}{\cos(\alpha)}}{AE}\\ & =\cos(\beta)\sin(\alpha)-\frac{\sin(\beta)\sin^{2}(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\frac{\sin(\beta)}{\cos(\alpha)}\\ & =\cos(\beta)\sin(\alpha)-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\alpha)}(\sin^{2}(\alpha)-1)\\ & =\cos(\beta)\sin(\alpha)-\frac{\sin(\beta)}{\cos(\alpha)}(-\cos^{2}(\alpha))\\ & =\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\\ \cos(\alpha+\beta) & =\frac{AB}{AE}\\ & =\frac{AC\cos(\alpha)}{AE}\\ & =\frac{AE\left(\cos(\beta)-\dfrac{\sin(\beta)\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)\cos(\alpha)}{AE}\\ & =\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\beta)\sin(\alpha)\\ & =\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \tan(\alpha) & =\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\ \tan(\beta) & =\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}\\ \tan(\alpha+\beta) & =\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\ & =\frac{\boxed{\sin(\alpha)}\cos(\beta)+\cos(\alpha)\boxed{\sin(\beta)}}{\cos(\alpha)\cos(\beta)-\boxed{\sin(\alpha)\sin(\beta)}}\\ & =\frac{\tan(\alpha)\cos(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\tan(\beta)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)-\tan(\alpha)\cos(\alpha)\tan(\beta)\cos(\beta)}\\ & =\frac{\cos(\alpha)\cos(\beta)(\tan(\alpha)+\tan(\beta))}{\cos(\alpha)\cos(\beta)(1-\tan(\alpha)\tan(\beta))}\\ & =\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)} \end{align*}$$

Yang diganti sin agar lebih mudah

# Rumus Selisih Dua Sudut

$$\begin{align*} \sin(\alpha+\beta) & =\sin(\alpha+(-\beta))\\ & =\sin(\alpha)\cos(-\beta)+\cos(\alpha)\sin(-\beta)\\ & =\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)\\ \cos(\alpha-\beta) & =\cos(\alpha+(-\beta))\\ & =\cos(\alpha)\cos(-\beta)-\sin(\alpha)\sin(-\beta)\\ & =\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \tan(\alpha-\beta) & =\tan(\alpha+(-\beta))\\ & =\frac{\tan(\alpha)+\tan(-\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(-\beta)}\\ & =\frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)} \end{align*}$$

# Kesimpulan

Jadi untuk $\alpha$ dan $\beta$ sebuah sudut apapun berlaku

$$\begin{align*} \sin(\alpha + \beta) &=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\\ \sin(\alpha - \beta) &=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)\\ \cos(\alpha + \beta) &=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \cos(\alpha-\beta) &=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \tan(\alpha + \beta) &=\dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)}\\ \tan(\alpha-\beta) &= \dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)} \end{align*}$$

Atau bisa ditulis sebagai:

$$\begin{align*} \sin(\alpha \pm \beta) &=\sin(\alpha)\cos(\beta)\pm\cos(\alpha)\sin(\beta)\\ \cos(\alpha \pm \beta) &=\cos(\alpha)\cos(\beta)\mp\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \tan(\alpha \pm \beta) &=\dfrac{\tan(\alpha)\pm\tan(\beta)}{1\mp\tan(\alpha)\tan(\beta)}\\ \end{align*}$$