Barisan (sequence) merupakan koleksi item yang diperbolehkan adanya item sama dan urutan diperhatikan. Deret merupakan jumlah dari item-item dari suatu barisan.

# Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan Aritmetika adalah barisan angka dimana perbedaan antara dua item yang berurutan bernilai konstan. Perbedaan tiap dua item yang berurutan dinamakan beda (difference) dan dilambangkan dengan $b$. Angka pertama dilambangkan dengan $a$. Angka ke $n$ dilambangkan $U_n$ dan dapat dicari dengan:

$$U_n = U_{n - 1} + b$$

Beda dapat dicari dengan:

$$b = U_n - U_{n-1}$$

Jika indeks dimulai dari 1, item ke 1 merupakan angka pertama:

$$U_1 = a$$

$U_n$ juga bisa dirumuskan sebagai:

$$U_n = a + (n - 1)b$$

Jumlah item-item pada barisan (deret) dari item awal ke item $n$ bisa dirumuskan:

$$\begin{aligned} S_n &= U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n \\ &= (a) + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n - 1)b) \end{aligned}$$

Jumlah item-item pada barisan dari item $n$ ke item awal dirumuskan:

$$\begin{aligned} S_n &= U_n + U_{n-1} + U_{n-2} + ... + U_1 \\ &= (a + (n-1)b) + (a + (n-2)b) + (a + (n-3)b) + ... + (a) \end{aligned}$$

Kedua rumus menghasilkan hasil yang sama (ekuivalen). Kedua rumus bisa ditambahkan dan menghasilkan rumus cepat.

$$\begin{alignedat}{6} S_n &=& &(a &) + &(a + b &) + &(a + 2b &) + ... + &(a + (n - 1)b&) \\ S_n &=& &(a + (n-1)b&) + &(a + (n-2)b&) + &(a + (n-3)b&) + ... + &(a &) \\ \hline 2S_n &=& &(\underbrace{2a + (n-1)b}_{\text{1}}&) + &(\underbrace{2a + (n-1)b}_{\text{2}}&) + &(\underbrace{2a + (n - 1)b}_{\text{3}}&) + ... + &(\underbrace{2a + (n-1)b}_{\text{n}}&) \\ &=& & n (2a + (n - 1)b) \\ S_n &=& & \frac{n}{2} (2a + (n - 1)b) \\ &=& & \frac{n}{2} (a + U_n) \end{alignedat}$$

Hubungan deret dan barisan:

$$\begin{aligned} S_n - S_{n-1} &= \frac{n}{2} (a + U_n) - \frac{n-1}{2} (a + U_{n-1}) \\ &= \frac{n(a + U_n) - (n-1)(a + U_{n-1})}{2} \\ &= \frac{na + nU_n - (na + n U_{n-1} - a - U_n{-1})}{2} \\ &= \frac{\cancel{na} + nU_n - \cancel{na} - n U_{n-1} + a + U_n{-1}}{2} \\ &= \frac{n (U_n - U_{n-1}) + a + U_n{-1}}{2} \\ &= \frac{n b + a + U_n{-1}}{2} \\ &= \frac{n b + a + a + (n - 2)b}{2} \\ &= \frac{n b + 2a + nb - 2b}{2} \\ &= \frac{2 n b + 2a - 2b}{2} \\ &= \frac{2 b (n - 1) + 2a}{2} \\ &= b (n - 1) + a \\ &= U_n \end{aligned}$$

Secara logika bisa dengan mudah ditemukan, penurunan yang lebih mudah:

$$\begin{aligned} S_n - S_{n-1} &= U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n - (U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_{n-1}) \\ &= U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n - U_1 - U_2 - U_3 - ... - U_{n-1}) \\ &= U_n \end{aligned}$$

# Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri merupakan barisan angka yang setiap angka merupakan perkalian dari angka sebelumnya dengan rasio. Rasio merupakan bilangan konstan dan dilambangkan dengan $r$. $U_n$ bisa dirumuskan:

$$U_n = U_{n-1} r$$

Rasio dapat dicari dengan:

$$r = \frac{U_n}{U_{n-1}}$$

Jika $U_1 = a$ maka, $U_n$ bisa dirumuskan:

$$U_n = ar^{n-1}$$

Deret dari item awal ke item $n$ bisa dirumuskan:

$$\begin{aligned} S_n &= U_1 + U_2 + U_3 + ... + U_n \\ &= (a) + (ar) + (ar^2) + ... + (ar^{n-1}) \end{aligned}$$

Untuk menghasilkan rumus cepat. Deret tersebut dikalikan dengan rasio.

$$\begin{aligned} S_nr &= U_1r + U_2r + U_3r + ... + U_nr \\ &= (ar) + (ar^2) + (ar^3) + ... + (ar^{n}) \end{aligned}$$

Kurangi persamaan 1 dengan persamaan 2 dan menghasilkan rumus cepat.

$$\begin{aligned} S_n &= (a) + (ar) + (ar^2) + ... + (ar^{n-1}) \\ S_nr &= (ar) + (ar^2) + (ar^3) + ... + (ar^{n}) \\ \hline S_n - S_nr &= (a) - (ar^n) \\ S_n(1 - r) &= a - ar^n \\ S_n &= \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \\ \end{aligned}$$

Rumus tersebut akan mudah digunakan jika $-1 < r < 1$. Rumus tersebut dapat diturunkan agar mudah digunakan saat $r > 1$ maupun $r < -1$.

$$\begin{aligned} S_n &= \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \\ &= \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \times \frac{-1}{-1} \\ &= \frac{a(- 1 + r^n)}{- 1 + r} \\ &= \frac{a(r^n - 1 )}{r - 1} \end{aligned}$$

Berlaku juga hubungan deret dengan barisan, seperti di atas (karena hubungan di atas berlaku bagi semua deret):

$$S_n - S_{n - 1} = U_n$$