Vektor $\displaystyle{ \overrightarrow{ A B } }$ adakah vektor dari titik $\displaystyle{ A }$ ke titik $\displaystyle{ B }$. Jadi

$$\displaystyle{ \overrightarrow{ A B } = \left( \begin{array}{c} B _{ x } - A _{ x } \\ B _{ y } - A _{ y } \end{array} \right) }$$

Menghasilkan vektor posisi.

Vektor posisi adakah vektor yang pangkalnya berada di titik origin. Origin atau $\displaystyle{ O }$ berada di $\displaystyle{ \left( 0 , 0 \right) }$ atau $\displaystyle{ O \left( 0 , 0 \right) }$. Vektor posisi titik $\displaystyle{ A }$ adalah $\displaystyle{ \overrightarrow{ O A } = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) }$. ($\displaystyle{ O }$ juga dapat tidak ditulis).

Vektor juga dapat ditulis dengan $\displaystyle{ \left( x , y \right) }$. Maksudnya ujung vektor berada di titik tersebut dengan pangkalnya di origin atau vektor ujungnya di $\displaystyle{ x }$ satuan ke kanan dan $\displaystyle{ y }$ satuan ke atas.

Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol atau $\displaystyle{ O \left( 0 , 0 \right) }$. Dilambangkan dengan $\displaystyle{ O }$. Arahnya tidak menentu.

Vektor negatif adalah vektor yang merupakan kebalikan/lawan vektor positif lain yang sejajar dan sama panjang.

Modulus adalah panjang/besar vektor dan bernilai positif.

Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1. Sering juga disebut unit vektor/vektor unit. Vektor unit yang umum digunakan adalah $\displaystyle{ \hat{ i } \left( 1 , 0 , 0 \right) }$ yang sejajar dengan sumbu x, $\displaystyle{ \hat{ j } \left( 0 , 1 , 0 \right) }$ yang sejajar dengan sumbu y, dan $\displaystyle{ \hat{ k } \left( 0 , 0 , 1 \right) }$ yang sejajar dengan sumbu z. Kita juga dapat mencari vektor satuan yang sejajar dengan sebuah vektor dengan membagi vektor dengan panjang vektor. Vektor dapat ditulis sebagai penjumlahan vektor $\displaystyle{ \hat{ i } }$, $\displaystyle{ \hat{ j } }$, dan $\displaystyle{ \hat{ k } }$. $\displaystyle{ \vec{ a } = x \hat{ i } + y \hat{ j } + z \hat{ k } }$.

Besaran yang mempunyai nilai dan arah seperti perpindahan ($\displaystyle{ \vec{ s } }$), gaya ($\displaystyle{ \vec{ F } }$), kecepatan ($\displaystyle{ \vec{ v } }$) dan percepatan ($\displaystyle{ \vec{ a } }$).

# Notasi Vektor

Vektor dapat dituliskan dengan huruf tebak

# Ruas Garis antara Vektor

Ruas Garis antara vektor adalah ruas garis antara ujung vektor. Ruas garis dari vektor $\displaystyle{ \vec{ A } }$ ke vektor $\displaystyle{ \vec{ B } }$ disebut ruas garis $\displaystyle{ A B }$.

Ruas garis dapat dibagi oleh sebuah titik. Jika titik membagi ruas garis di dalam, maka titik berada di ruas garis. Jika titik membagi ruas garis di luar, maka titik berada di perpanjangan ruas garis. Dapat dijawab dengan perbandingan.

Dalam:

TODO: Gambar Dalam

https://1drv.ms/i/s!AnBAV68C1xNxjmKyscoMlPW7GWd1

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\frac{ A P }{ P B } & = \frac{ m }{ n } \\ \frac{ \vec{ p } - \vec{ a } }{ \vec{ b } - \vec{ p } } & = \frac{ m }{ n } \\ n \vec{ p } - n \vec{ a } & = m \vec{ b } - m \vec{ p } \\ n \vec{ p } + m \vec{ p } & = m \vec{ b } + n \vec{ a } \\ \left( n + m \right) \vec{ p } & = m \vec{ b } + n \vec{ a } \\ \vec{ p } & = \frac{ m \vec{ b } + n \vec{ a } }{ n + m } \\ & = \frac{ n \vec{ a } + m \vec{ b } }{ n + m }\end{aligned} }$$

Luar

TODO: Luar

https://1drv.ms/i/s!AnBAV68C1xNxjmSHAs5PI4yOmzUr

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\frac{ A T }{ T B } & = \frac{ m }{ - n } \\ \frac{ \vec{ t } - \vec{ a } }{ \vec{ b } - \vec{ t } } & = \frac{ m }{ - n } \\ - n \vec{ t } + n \vec{ a } & = m \vec{ b } - m \vec{ t } \\ m \vec{ t } - n \vec{ t } & = m \vec{ b } - n \vec{ a } \\ \left( m - n \right) \vec{ t } & = m \vec{ b } - n \vec{ a } \\ \vec{ t } & = \frac{ m \vec{ b } - n \vec{ a } }{ m - n }\end{aligned} }$$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\frac{ A T }{ B T } & = \frac{ m }{ n } \\ \frac{ \vec{ t } - \vec{ a } }{ \vec{ t } - \vec{ b } } & = \frac{ m }{ n } \\ n \vec{ t } - n \vec{ a } & = m \vec{ t } - m \vec{ b } \\ m \vec{ t } - n \vec{ t } & = m \vec{ b } - n \vec{ a } \\ \left( m - n \right) \vec{ t } & = m \vec{ b } - n \vec{ a } \\ \vec{ t } & = \frac{ m \vec{ b } - n \vec{ a } }{ m - n }\end{aligned} }$$

# Proyeksi Orthogonal pada Vektor Lain

TODO: Gambar

https://1drv.ms/i/s!AnBAV68C1xNxjmNclLAu5ISv5W3E

Proyeksi vektor $\displaystyle{ \overrightarrow{ A } }$ ke vektor $\displaystyle{ \overrightarrow{ B } }$ disebut vektor $\displaystyle{ \overrightarrow{ C } }$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\cos \left( \theta \right) & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \Big| \vec{ a } \Big| \left| \vec{ b } \right| } \\ \left| \vec{ c } \right| & = \left| \vec{ a } \right| \cos \theta \\ & = \left| \vec{ a } \right| \cdot \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \Big| \vec{ a } \Big| \left| \vec{ b } \right| } \\ & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ b } \right| }\end{aligned} }$$

Vektor $\displaystyle{ \vec{ c } }$ merupakan skalasi dari vektor $\displaystyle{ \vec{ b } }$ dengan skala tertentu.

$$\displaystyle{ \vec{ c } = m \vec{ b } }$$

Skala pada vektor hanya bergantung pada besar/panjang dan tidak bergantung pada arah. Karena kedua vektor searah.

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\left| \vec{ c } \right| & = m \left| \vec{ b } \right| \\ m & = \frac{ \left| \vec{ c } \right| }{ \left| \vec{ b } \right| } \\ & = \frac{ \displaystyle \left( \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ b } \right| } \right) }{ \left| \vec{ b } \right| } \\ & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ b } \Vert \vec{ b } \right| } \\ & = \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ b } \right| ^{ 2 } }\end{aligned} }$$

Vektor $\displaystyle{ \vec{ c } }$ searah dengan vektor $\displaystyle{ \vec{ b } }$.

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\vec{ c } & = m \vec{ b } \\ & = \left( \frac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \left| \vec{ b } \right| ^{ 2 } } \right) \vec{ b } \\ & = \left( \vec{ a } \cdot \frac{ \vec{ b } }{ \left| \vec{ b } \right| } \right) \frac{ \vec{ b } }{ \left| \vec{ b } \right| } \\ & = \left( \vec{ a } \cdot \hat{ b } \right) \hat{ b }\end{aligned} }$$

Untuk mencari vektor unit yang searah dengan suatu vektor. Bagi vektor dengan besar vektor.

$$\displaystyle{ \hat{ c } = \frac{ \vec{ a } }{ \left| \vec{ a } \right| } }$$

# Sifat Operasi Vektor

$$\displaystyle{ \vec{ a } + \vec{ b } = \vec{ b } + \vec{ a } }$$

Penjumlahan dan perkalian titik hasilnya tidak dipengaruhi oleh urutuan dan sudut antar kedua vektor tetap sama

$$\displaystyle{ \left( \vec{ a } + \vec{ b } \right) + \vec{ c } = \vec{ a } + \left( \vec{ b } + \vec{ c } \right) = \vec{ a } + \vec{ b } + \vec{ c } }$$

$$\displaystyle{ \vec{ a } + 0 = 0 + \vec{ a } }$$

$$\displaystyle{ \vec{ a } + \left( - \vec{ a } \right) = 0 }$$

Seperti $\displaystyle{ 1 + \left( - 1 \right) }$, $\displaystyle{ 2 + \left( - 2 \right) }$

$$\displaystyle{ m \left( n \left( \vec{ a } \right) \right) = \left( m n \right) \vec{ a } }$$

$$\displaystyle{ m \vec{ a } + m \vec{ b } = m \left( \vec{ a } + \vec{ b } \right) }$$

Bukti:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\left( \begin{array}{c} ma _{ x } \\ ma _{ y } \\ ma _{ z } \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} mb _{ x } \\ mb _{ y } \\ mb _{ z } \end{array} \right) & = m \left( \begin{array}{c} a _{ x } + b _{ x } \\ a _{ y } + b _{ y } \\ a _{ z } + b _{ z } \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} ma _{ x } + mb _{ x } \\ ma _{ y } + mb _{ y } \\ ma _{ z } + mb _{ z } \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} ma _{ x } + mb _{ x } \\ ma _{ y } + mb _{ y } \\ ma _{ z } + mb _{ z } \end{array} \right)\end{aligned} }$$

$$\displaystyle{ \left( m + n \right) \vec{ a } = m \vec{ a } + n \vec{ a } }$$

Bukti:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\left( \begin{array}{c} \left( m + n \right) a _{ x } \\ \left( m + n \right) a _{ y } \\ \left( m + n \right) a _{ z } \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} ma _{ x } \\ ma _{ y } \\ ma _{ z } \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} n a _{ x } \\ n a _{ y } \\ n a _{ z } \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} ma _{ x } + n a _{ x } \\ ma _{ y } + n a _{ y } \\ ma _{ z } + n a _{ z } \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} ma _{ x } + n a _{ x } \\ ma _{ y } + n a _{ y } \\ ma _{ z } + n a _{ z } \end{array} \right)\end{aligned} }$$

$$\displaystyle{ m \left( - \vec{ a } \right) = - m \left( \vec{ a } \right) = - m \vec{ a } }$$

Bukti:

$$\displaystyle{ \left( \begin{array}{c} m \cdot - a _{ x } \\ m \cdot - a _{ y } \\ m \cdot - a _{ z } \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} - \left( m \cdot a _{ x } \right) \\ - \left( m \cdot a _{ y } \right) \\ - \left( m \cdot a _{ z } \right) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} - m \cdot a _{ x } \\ - m \cdot a _{ y } \\ - m \cdot a _{ z } \end{array} \right) }$$

# Sifat Perkalian Titik

• $\displaystyle{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = 0 }$, jika sudut antara keduanya $\displaystyle{ 90 \degree }$. $\displaystyle{ \cos \left( 90 \degree \right) = 0 }$
• $\displaystyle{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = \Big| \vec{ a } \Big| \left| \vec{ b } \right| }$, jika sudut antara keduanya $\displaystyle{ 0 \degree }$. $\displaystyle{ \cos \left( 0 \degree \right) = 1 }$
• $\displaystyle{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } = - \Big| \vec{ a } \Big| \left| \vec{ b } \right| }$, jika sudut antara keduanya $\displaystyle{ 180 \degree }$. $\displaystyle{ \cos \left( 180 \degree \right) = - 1 }$
• $\displaystyle{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } > 0 }$, jika sudut antara keduanya $\displaystyle{ 0 \degree < \theta < 90 \degree }$.
• $\displaystyle{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } < 0 }$, jika sudut antara keduanya $\displaystyle{ 90 \degree < \theta < 180 \degree }$.
• $\displaystyle{ \vec{ a } \cdot \vec{ a } = \left| \vec{ a } \right| \left| \vec{ a } \right| }$, sudutnya jelas $\displaystyle{ 0 \degree }$. Maka $\displaystyle{ \vec{ a } ^{ 2 } = \left| \vec{ a } \right| ^{ 2 } }$

# Mencari Titik Tengah Ruas Garis

Titik tengah ruas garis AB (A ke B)

$$\displaystyle{ \frac{ A B }{ 2 } + A = \frac{ B - A }{ 2 } + \frac{ 2 A }{ 2 } = \frac{ B + A }{ 2 } }$$