Ditemukan oleh Albert Gilard untuk prinsip umum. Untuk akar postif ditemukan oleh Francois Viete. Albert Gilard menemukan terlebih dahulu.

Lihat pola berikut.

Untuk penambahan seluruh akar maka rumusnya jelas $\frac{-b}{a}$.

Kemudian dilanjutkan dengan penambahan produk dari dua akar dan tidak diperbolehkan adanya duplikasi produk maka rumusnya jelas $\frac{c}{a}$

Kemudian dilanjutkan dengan penambahan produk dari 3 akar. Dan seterusnya.

Ingat untuk tanda negatif, selalu bergantian. $a$ merupakan konstanta dari variabel dengan pangkat terbesar. $b$ merupakan konstanta dari varibel dengan pangkat terbesar - 1. Dan seterusnya. Bilangan yang dibagi selalu bergantian.

# Polinom Pangkat 2

Polinom Pangkat 2 mempunyai 2 akar yaitu $x_1$ dan $x_2$.

$$\begin{align*} ax^2 + bx + c = 0 \\ x_1 + x_2 &= \frac{-b}{a} \\ x_1 x_2 &= \frac{c}{a} \end{align*}$$

# Polinom Pangkat 3

Polinom Pangkat 3 mempunyai 3 akar yaitu $x_1$, $x_2$ dan $x_3$.

$$\begin{align*} ax^3 + bx^2 + cx + d &= 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 &= \frac{-b}{a} \\ x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 &= \frac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 &= \frac{-d}{a} \end{align*}$$

Bukti:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\left( x - x _{ 1 } \right) \left( x - x _{ 2 } \right) \left( x - x _{ 3 } \right) & = 0 \\ \left( x ^{ 2 } - \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x + x _{ 1 } x _{ 2 } \right) \left( x - x _{ 3 } \right) & = 0 \\ \left( x ^{ 2 } - \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x + x _{ 1 } x _{ 2 } \right) x - \left( x ^{ 2 } - \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x + x _{ 1 } x _{ 2 } \right) x _{ 3 } & = 0 \\ x ^{ 3 } - \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x ^{ 2 } + x _{ 1 } x _{ 2 } x - \left( x _{ 3 } x ^{ 2 } - \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x _{ 3 } x + x _{ 1 } x _{ 2 } x _{ 3 } \right) & = 0 \\ x ^{ 3 } - \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x ^{ 2 } + x _{ 1 } x _{ 2 } x - x _{ 3 } x ^{ 2 } + \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x _{ 3 } x - x _{ 1 } x _{ 2 } x _{ 3 } & = 0 \\ x ^{ 3 } - \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x ^{ 2 } - x _{ 3 } x ^{ 2 } + x _{ 1 } x _{ 2 } x + \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x _{ 3 } x - x _{ 1 } x _{ 2 } x _{ 3 } & = 0 \\ x ^{ 3 } - \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } \right) x ^{ 2 } + x \left( x _{ 1 } x _{ 2 } + \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } \right) x _{ 3 } \right) - x _{ 1 } x _{ 2 } x _{ 3 } & = 0 \\ x ^{ 3 } - \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } \right) x ^{ 2 } + \left( x _{ 1 } x _{ 2 } + x _{ 1 } x _{ 3 } + x _{ 2 } x _{ 3 } \right) x - x _{ 1 } x _{ 2 } x _{ 3 } & = 0\end{aligned} }$$

Kita samakan persamaan di atas dengan persamaan $\displaystyle{ x ^{ 3 } + b x ^{ 2 } + c x + d = 0 }$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\begin{alignat}{6} \\ & { \color{red} x ^{ 3 } } + & { \color{blue} b } & { \color{red} x ^{ 2 } } + & { \color{blue} c } & { \color{red} x } + & { \color{blue} d } = 0 \\ & { \color{red} x ^{ 3 } } - & { \color{blue} \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } \right) } & { \color{red} x ^{ 2 } } + & { \color{blue} \left( x _{ 1 } x _{ 2 } + x _{ 1 } x _{ 3 } + x _{ 2 } x _{ 3 } \right) } & { \color{red} x } - & { \color{blue} x _{ 1 } x _{ 2 } x _{ 3 } } = 0 \\ \end{alignat}\end{aligned} }$$

Menyamakan tanda:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\begin{alignat}{6} \\ & { \color{red} x ^{ 3 } } - & { \color{blue} \left( - b \right) } & { \color{red} x ^{ 2 } } + & { \color{blue} c } & { \color{red} x } - & { \color{blue} \left( - d \right) } = 0 \\ & { \color{red} x ^{ 3 } } - & { \color{blue} \left( x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } \right) } & { \color{red} x ^{ 2 } } + & { \color{blue} \left( x _{ 1 } x _{ 2 } + x _{ 1 } x _{ 3 } + x _{ 2 } x _{ 3 } \right) } & { \color{red} x } - & { \color{blue} x _{ 1 } x _{ 2 } x _{ 3 } } = 0 \\ \end{alignat}\end{aligned} }$$

Jadi:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\begin{alignat}{2} \\ x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } & = \text{koefisien } x ^{ 2 } && = - b \\ x _{ 1 } x _{ 2 } + x _{ 1 } x _{ 3 } + x _{ 2 } x _{ 3 } & = \text{koefisien } x && = c \\ x _{ 1 } \cdot x _{ 2 } \cdot x _{ 3 } & = \text{konstanta } && = - d \\ \end{alignat}\end{aligned} }$$

Lalu bagaimana jika koefisien $\displaystyle{ x ^{ 3 } \ne 1 }$?. Caranya dengan membagi persamaan dengan koefisien $\displaystyle{ x ^{ 3 } }$

ParseError: KaTeX parse error: Too many math in a row: expected 1, but got 5

Jadi:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\begin{alignat}{2} \\ x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } & = \text{koefisien } x ^{ 2 } && = - \frac{ b }{ a } \\ x _{ 1 } x _{ 2 } + x _{ 1 } x _{ 3 } + x _{ 2 } x _{ 3 } & = \text{koefisien } x && = \frac{ c }{ a } \\ x _{ 1 } \cdot x _{ 2 } \cdot x _{ 3 } & = \text{konstanta } && = - \frac{ d }{ a } \\ \end{alignat}\end{aligned} }$$

Maka untuk persamaan $\displaystyle{ a x ^{ 3 } + b x ^{ 2 } + c x + d = 0 }$ berlaku

$$\displaystyle{ \begin{aligned}x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } & = - \frac{ b }{ a } \\ x _{ 1 } x _{ 2 } + x _{ 1 } x _{ 3 } + x _{ 2 } x _{ 3 } & = \frac{ c }{ a } \\ x _{ 1 } \cdot x _{ 2 } \cdot x _{ 3 } & = - \frac{ d }{ a }\end{aligned} }$$

# Polinom Pangkat 4

Polinom Pangkat 4 mempunyai 4 akar yaitu $x_1$, $x_2$, $x_3$ dan $x_4$.

$$\begin{align*} ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e &= 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 &= \frac{-b}{a} \\ x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 &= \frac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 &= \frac{-d}{a} \\ x_1 x_2 x_3 x_4 &= \frac{e}{a} \end{align*}$$