# Preposisi

Preposisi adalah pernyataan yang dapat bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.

# Negasi

Negasi menyatakan "tidak". Negasi dilambangkan dengan $\sim$. Negasi akan membalik benar menjadi salah dan sebaliknya.

# Konjungsi

Konjungsi menyatakan "dan". Konjungsi $p$ dan $q$ dilambangkan dengan $p \land q$ dan hanya bernilai benar jika $p$ dan $q$ sama-sama benar.

# Disjungsi

Disjungsi menyakan "atau". Konjungsi $p$ dan $q$ dilambangkan dengan $p \lor q$ dan bernilai benar jika salah satu atau keduanya bernilai benar.

# Implikasi

Implikasi menyatakan "jika". Implikasi dilambangkan dengan $\implies$. $p \implies q$ dibaca jika $p$ maka $q$. $p$ adalah sebab dan $q$ adalah akibat. Ini hanya salah jika $p$ benar dan $q$ salah. Logikanya jika $p$ maka $q$, saat $p$ benar maka $q$ harus benar tidak boleh salah.

Bentuk "jika p maka q" dapat diekspresikan dengan berbagai cara yaitu:

• jika $p$ maka $q$ (if p then q)
• jika $p$, $q$ (if p, q)
• $p$ mengakibatkan $q$ (p implies q)
• $q$ jika $p$ (q if p)
• $q$ apabila $p$ (q if p)
• $q$ bilamana $p$ (q whenever p)
• $q$ hanya jika $p$ (q only if p)
  Alasan: $\displaystyle{ q }$ hanya jika $\displaystyle{ p }$ berarti $\displaystyle{ q }$ hanya benar jika $p$ benar. Jika $p$ maka $q$ juga berarti $q$ hanya benar saat $p$ benar
• $p$ syarat cukup bagi $q$ (p is sufficent for q)
  Alasan: $p$ cukup untuk membuat $q$ terjadi. Dengan kata lain, $p$ benar cukup untuk membuat $q$ benar.
• $q$ syarat perlu bagi $p$ (q is necesarry for q)
  Alasan: $q$ perlu terjadi saat $p$ terjadi. Dengan kata lain, $q$ perlu benar saat $p$ benar. Ini juga berarti, saat $p$ benar $q$ juga harus benar.

Implikasi "jika $p$ maka $q$" juga dapat diubah menjadi varian lainnya:

• Invers. Sebab dan akibat di negasi/invers. Bentuknya "jika tidak $p$ maka tidak $q$" atau $\displaystyle{ ∽ p \Rightarrow ∽ q }$
• Konvers. Sebab diubah menjadi akibat dan akibat diubah menjadi sebab "Jika $q$ maka $p$" atau $\displaystyle{ q \Rightarrow p }$
• Kontraposisi/Kontrapositif. Negasi sebab diubah menjadi akibat dan negasi akibat diubah menjadi sebab. Bentuk ini bisa dikatakan sebagai gabungan invers dan konvers. "Jika tidak $q$ maka tidak $p$" atau $\displaystyle{ ∽ q \Rightarrow ∽ p }$

Perlu diingat bahwa hanya bentuk $\displaystyle{ ∽ q \Rightarrow ∽ p }$ (kontraposisi) yang setara dengan $\displaystyle{ p \Rightarrow q }$

# Biimplikasi

Biimplikasi menyatakan "jika dan hanya jika". Biimplikasi dilambangkan dengan $\iff$. $p \iff q$ dibaca jika dan hanya jika $p$ maka $q$. Ini hanya benar saat $p$ sama dengan $q$ ($p = q$). Dengan kata lain, premis ini hanya benar saat saat dua pernyataan ($p$ dan $p$) sama-sama salah atau sama-sama benar.

Biimplikasi dapat diubah menjadi bentuk implikasi. $p$ jika dan hanya jika $q$ ($\displaystyle{ p \iff q }$) setara dengan jika $p$ maka $q$ ($\displaystyle{ p \Rightarrow q }$) dan jika $q$ maka $p$ ($\displaystyle{ q \Rightarrow p }$).

$$\displaystyle{ p \iff q \equiv \left( p \Rightarrow q \right) \wedge \left( q \Rightarrow p \right) }$$

# Kesetaraan

$\equiv$ melambangkan dua pernyataan setara.

$\not\equiv$ melambangkan dua pernyataan tidak setara.

# Hukum Hukum

# Hukum Identitas

# $\displaystyle{ p \vee S \equiv p }$

Saat salah satu operan disjungsi bernilai salah maka nilai kebenaran operasi disjungsi hanya bergantung pada nilai operan lainnya.

# $\displaystyle{ p \wedge B \equiv p }$

Saat salah satu operannya bernilai benar maka nilai hasil konjungsi hanya bergantung pada nilai operan lainnya .

# Hukum Null/Dominasi

# $\displaystyle{ p \vee B \equiv B }$

Saat salah satu operan disjungsi bernilai benar maka nilai hasil disjungsi jelas bernilai benar dan nilai operan lainnya jelas diabaikan.

# $\displaystyle{ p \wedge S \equiv S }$

Saat salah satu nilai operan konjungsi bernilai salah maka nilai hasil operasi konjungsi jelas bernilai salah dan nilai operan lainnya jelas diabaikan.

# Hukum Negasi

# $\displaystyle{ p \vee ∽ p \equiv B }$

Disjungsi antara suatu nilai dengan negasi dari nilai tersebut jelas bernilai benar karena operan disjungsi tersebut jelas ada yang bernilai benar. Akan ada kemungkinan dari nilai tersebut:

• Saat nilai tersebut bernilai benar hasil disjungsi jelas benar
• Saat nilai tersebut bernilai salah maka negasinya bernilai benar sehingga hasil disjungsi benar

# $\displaystyle{ p \wedge ∽ p \equiv S }$

Konjungsi suatu nilai dengan negasi dari nilai tersebut jelas bernilai salah karena operan dari konjungsi ini jelas ada yang bernilai salah. Akan ada 2 kemungkinan dari nilai tersebut:

• Nilai tersebut bernilai benar sehingga negasinya bernilai salah sehingga hasil konjungsi bernilai salah
• Nilai tersebut bernilai salah sehingga hasil konjungsi bernilai salah

# Hukum Idempoten

# $\displaystyle{ p \vee p \equiv p }$

Hasil disjungsi suatu nilai dengan nilai itu sendiri jelas bernilai nilai itu sendiri.

# $\displaystyle{ p \wedge p \equiv p }$

Hasil konjungsi suatu nilai dengan nilai itu sendiri jelas bernilai nilai itu sendiri.

# Hukum Involusi/Negasi Ganda

# $\displaystyle{ ∽ \left( ∽ p \right) \equiv p }$

Negasi dari negasi suatu nilai adalah nilai itu sendiri.

# Hukum Distributif

# $\displaystyle{ p \vee \left( q \vee r \right) \equiv \left( p \vee q \right) \vee \left( p \vee r \right) }$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}p \vee \left( q \vee r \right) \\ \left( p \vee p \right) \vee \left( q \vee r \right) \\ p \vee p \vee q \vee r \\ p \vee q \vee p \vee r \\ \left( p \vee q \right) \vee \left( p \vee r \right)\end{aligned} }$$

# $\displaystyle{ p \wedge \left( q \wedge r \right) \equiv \left( p \wedge q \right) \wedge \left( p \wedge r \right) }$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}p \wedge \left( q \wedge r \right) \\ \left( p \wedge p \right) \wedge \left( q \wedge r \right) \\ p \wedge p \wedge q \wedge r \\ p \wedge q \wedge p \wedge r \\ \left( p \wedge q \right) \wedge \left( p \wedge r \right)\end{aligned} }$$

# $\displaystyle{ p \vee \left( q \wedge r \right) \equiv \left( p \vee q \right) \wedge \left( p \vee r \right) }$

Tabel kebenaran persamaan kiri:

Tabel kebenaran persamaan kanan:

Tabel kebenaran persamaan kanan dan kiri:

# $\displaystyle{ p \wedge \left( q \vee r \right) \equiv \left( p \wedge q \right) \vee \left( p \wedge r \right) }$

Tabel kebenaran persamaan kiri:

Tabel kebenaran persamaan kanan:

Tabel kebenaran kiri dan kanan:

# Hukum Penyerapan/Absorpsi

# $\displaystyle{ p \vee \left( p \wedge q \right) \equiv p }$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}p \vee \left( p \wedge q \right) \\ \left( p \wedge B \right) \vee \left( p \wedge q \right) \\ p \wedge \left( B \vee q \right) \\ p \wedge B \\ p\end{aligned} }$$

# $\displaystyle{ p \wedge \left( p \vee q \right) \equiv p }$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}p \wedge \left( p \vee q \right) \\ \left( p \vee S \right) \wedge \left( p \vee q \right) \\ p \vee \left( S \wedge q \right) \\ p \vee S \\ p\end{aligned} }$$

# Hukum Asosiatif

# $\displaystyle{ p \vee \left( q \vee r \right) \equiv \left( p \vee q \right) \vee r }$

Tabel kebenaran kiri:

Tabel kebenaran kanan:

Tabel kebenaran kiri dan kanan:

# $\displaystyle{ p \wedge \left( q \wedge r \right) \equiv \left( p \wedge q \right) \wedge r }$

Tabel kebenaran kiri:

Tabel kebenaran kanan:

Tabel kebenaran kiri dan kanan:

# Hukum Komutatif

# $p \lor q \equiv q \lor p$

$p$ atau $q$ Setara dengan $q$ atau $p$

# $p \land q \equiv q \land p$

$p$ dan $q$ Setara dengan $q$ dan $p$

# Hukum de Morgan

# $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$

Tidak dari ($p$ atau $q$) Setara dengan Tidak $p$ dan tidak $q$

Logika:

• $p$ atau $q$ hanya akan bernilai salah jika $p$ dan $q$ bernilai salah.
• Tidak ($p$ atau $q$) hanya akan bernilai benar jika $p$ dan $q$ bernilai salah.
• Tidak $p$ dan tidak $q$ hanya bernilai benar jika $p$ dan $q$ bernilai salah.

# $\displaystyle{ ∽ \left( p \wedge q \right) \equiv ∽ p \vee ∽ q }$

Logika:

• $p$ dan $q$ hanya bernilai benar jika $p$ dan $q$ bernilai benar
• Tidak ($p$ dan $q$) hanya bernilai salah jika $p$ dan $q$ bernilai benar
• Tidak $p$ atau tidak $q$ hanya bernilai salah jika $p$ dan $q$ bernilai benar

# $p \implies q \not\equiv q \implies p$

Jika $p$ maka $q$ Tidak setara dengan Jika $q$ maka $p$

# Hukum tentang Implikasi

# $p \implies q \equiv \sim p \lor q$

Jika $p$ maka $q$ berarti $q$ terjadi atau $p$ tidak terjadi.

Alasannya karena jika $p$ maka $q$ berarti ada 2 kemungkinan berikut:

• Saat $q$ terjadi maka $p$ bisa terjadi atau tidak terjadi
• Saat $q$ tidak terjadi maka $p$ jelas tidak terjadi

Jika $p$ maka $q$ Setara dengan Tidak $p$ atau $q$

Bisa juga

Jika $p$ maka $q$ Setara dengan $q$ atau tidak $p$

# $p \implies q \equiv \sim q \implies \sim p$

Jika $p$ maka $q$ Setara dengan Jika tidak $q$ maka tidak $p$

Logika:

• Jika $p$ maka $q$ hanya bernilai salah jika $p$ benar dan $q$ salah
• Jika tidak $q$ maka tidak $p$ hanya bernilai salah jika tidak $q$ benar dan tidak $p$ salah.
• Jika tidak $q$ maka tidak $p$ hanya bernilai salah jika $q$ salah dan $p$ benar.

$$\displaystyle{ \begin{aligned}p \Rightarrow q \\ q \vee ∽ p \\ ∽ p \vee q \\ ∽ p \vee ∽ \left( ∽ q \right) \\ ∽ q \Rightarrow ∽ p\end{aligned} }$$

# $p \implies q \not\equiv \sim q \lor p$

Jika $p$ maka $q$ Tidak setara dengan Tidak $q$ atau $p$

Bisa juga

Jika $p$ maka $q$ Tidak setara dengan $p$ atau tidak $q$

# $p \implies q \not\equiv \sim p \implies \sim q$

Jika $p$ maka $q$ Tidak setara dengan Jika tidak $p$ maka tidak $q$

# Kesimpulan Rumus Implikasi

Jika $p$ maka $q$ berarti: