Bilangan irasional adalah bilangan yang dapat dituliskan sebagai pembagian (rasio) antara dua bilangan bulat. Secara matematis

$$\displaystyle{ \frac{ p }{ q } \qquad p , q \in \mathbb{Z} }$$

Semua bilangan irasional dapat dituliskan sebagai bilangan desimal. Namun, tidak semua bilangan desimal adalah bilangan irasional. Hanya bilangan desimal berulang yang merupakan bilangan irasional. Bilangan desimal adalah bilangan desimal dimana terdapat kumpulan digit setelah koma yang berulang terus menerus tanpa ada digit lain yang memisahkan dan urutan digit tetap.Contoh bilangan desimal yang merupakan bilangan rasional:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}3 , 333333333. \ldots \qquad \qquad \text{3 berulang} \\ 0 , 123123123. \ldots \qquad \qquad \text{123 berulang} \\ 4 , 21562156. \ldots . \qquad \qquad \text{2156 berulang}\end{aligned} }$$

Contoh bilangan desimal yang bukan bilangan rasional:

$$\displaystyle{ 0 , 123012300123000123000. .. }$$

Walaupun 1230 berulang terus menerus dan urutan digit tetap tetapi pada perulangan kedua terdapat digit 0 yang memisahkan dan jumlah angka 0 semakin bertambah seiring berulangannya kumpulan digit.

Bilangan desimal yang mempunyai akhir dapat dianggap sebagai bilangan desimal dengan angka 0 berulang setelah digit terakhirnya ($\displaystyle{ 0.25 = 0.250000 \ldots }$).

# Mengubah Desimal Berulang ke Rasional

Metode untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan rasional adalah sebagai berikut:

• Memisalkan bilangan desimal dengan variabel tertentu (Misalkan $x$)
• Menggalikan variabel dengan $10^k$ ($\displaystyle{ k \in \mathbb{Z} }$) sehingga bilangan belakang koma pada hasil kali sama dengan variabel awal.
• Mengurangi hasil kali dengan variabel awal. Ini akan membuat bilangan belakang koma menjadi $0$
• Menyelesaikan variabel

Contoh:

1. $0,123123 ...$ Penyelesaian:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}x & = & 0 , 123123 \ldots & \\ \hline \\ 1000 x & = & 123 , 123123 \ldots & \\ x & = & 0 , 123123 \ldots & \qquad - \\ \hline \\ 99 x & = & 123 , 000000 \ldots & \\ x & = \frac{ 123 }{ 99 } \\ & = \frac{ 41 }{ 33 }\end{aligned} }$$

2. $\displaystyle{ 2 , 565656 \ldots }$ Penyelesaian:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}x & = & 2 , 565656 \ldots & \\ \hline \\ 100 x & = & 256 , 565656 \ldots & \\ x & = & 2 , 565656 \ldots & \qquad - \\ \hline \\ 99 x & = & 254 , 00000 \ldots & \\ x & = \frac{ 254 }{ 99 }\end{aligned} }$$

3. $\displaystyle{ 0 , 2171717 \ldots }$ Penyelesaian:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}x & = & 0 , 2171717 \ldots & \\ 10 x & = & 2 , 171717 \ldots & \\ \hline \\ 1000 x & = & 217 , 171717 \ldots & \\ 10 x & = & 2 , 171717 \ldots & \qquad - \\ \hline \\ 990 x & = & 215 , 000000 \ldots & \\ x & = \frac{ 215 }{ 990 } \\ & = \frac{ 43 }{ 198 }\end{aligned} }$$