Nilai mutlak adalah jarak suatu bilangan terhadap angka 0 tanpa memperhatikan arah. Nilai mutlak tidak mungkin negatif dan selalu positif. Nilai mutlak dari $x$ dinotasikan dengan dengan $|x|$.

$$\begin{align*} |3| = 3\\ |-4| = 4 \end{align*}$$

# Definisi Nilai Mutlak

Secara matematis nilai mutlak didefinisikan seperti berikut:

$$|x|\begin{cases} x & \text{{jika}}\quad x\geq0\\ & \text{{jika}}\quad x<0 \end{cases}$$

Maksudnya adalah nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak bilangan negatif adalah kebalikan dari bilangan itu.

# Sifat-Sifat

• $|x| = |-x|$. Alasannya: saat suatu bilangan dikalikan -1, jarak bilangan terhadap 0 tidak berubah.

• $|x - y| = |y - x|$. Alasannya:

  $$\begin{equation} \begin{split} |x - y| &= |-(x - y)| \\ &= |-x + y| \\ &= |y - x| \end{split} \end{equation}$$

• $|x + y| = |-x -y|$. Alasannya:

  $$\begin{equation} \begin{split} |x + y| &= |-(x + y)| \\ &= |-x - y| \end{split} \end{equation}$$

• $|a| = \sqrt{a^2}$. Bukti

  Saat bilangan real apapun dikuadratkan maka hasilnya positif. Akar kuadrat hasilnya bisa berupa bilangan postitf dan negatif, sehingga perlu diberi tanda sebelum akar. Akar kuadrat dari suatu kuadrat menghasilkan bilangan itu sendiri (bisa positif dan negatif). Karena akar kuadrat pada pesamaan tidak mempunyai tanda maka diartikan bertanda positif. Jadi akar kuadrat tersebut hasilnya sama dengan versi positif dari bilangan $a$. Hasilnya ternaya sama dengan nilai mutlak $a$.

• $|a \cdot b| = |a||b|$. Bukti:

  $$\begin{equation} \begin{split} \sqrt{(ab)^2} &= \sqrt{a^2 b^2} \\ &= \sqrt{a^2} \sqrt{b^2} \\ &= |a| |b| \end{split} \end{equation}$$

• $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$, dengan $b \ne 0$. Bukti:

  $$\begin{equation} \begin{split} \sqrt{(\frac{a}{b})^2} &= \sqrt{\frac{a^2}{b^2}} \\ &= \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}} \\ &= \frac{|a|}{|b|} \end{split} \end{equation}$$

# Persamaan Mutlak

Persamaan mutlak berbentuk $|a| = b$, mempunyai dua penyelesaian:

• Saat a positif atau nol, maka $a = b$
• Saat a negatif, maka $-a = b$

Persamaan mutlak berbentuk $|a| = |b|$ bisa diubah menjadi:

$$\begin{equation} \begin{split} \sqrt{a^2} &= \sqrt{b^2} \\ a^2 &= b^2 \\ a^2 - b^2 &= 0 \\ (a - b)(a + b) &= 0 \end{split} \end{equation}$$