# Limas

Limas merupakan bangun ruang dengan alas berbentuk poligon dan setiap sudut pada alas dihubungkan pada satu titik. Akibatnya seluruh sisi tegaknya berbentuk segitiga dan bentuk dari limas meruncing. Limas disebut juga sebagai piramida.

# Volume

Volume limas:

$$V = \frac{1}{3} \times Luas Alas \times Tinggi$$

# Pembuktian Menggunakan Balok

Bila kita meletakkan limas dengan balok dengan alas sama maka terlihat seperti berikut:

Kita mendapatkan informasi bahwa terdapat rasio antara volume limas dan volume balok dan rasio tersebut konstan. Maka:

$$V = kplt$$

Saat balok diperbesar dan dibuat semua diagonal ruang, terbentuk 6 limas segitiga empat.

Dua limas yang berhadapan mempunyai dimensi sama. Sehingga terdapat 3 limas berdimensi berbeda. Penjumlahan volume seluruh limas sama dengan volume balok.

$$\begin{equation} \begin{split} 2(kplt) + 2(kp(2t)(\frac{1}{2}l)) + 2(pl(2t)(\frac{1}{2}p)) &= pl(2t) \\ 2kplt + 2kplt + 2kplt &= 2plt \\ 6kplt &= 2plt \\ k &= \frac{1}{3} \end{split} \end{equation}$$

Walaupun berdimensi berbeda, volume dari 6 limas adalah sama. Penyebabnya adalah saat dimensinya dimasukkan ke rumus $V = kplt$, maka menghasilkan volume sama. Maka volume dari limas segiempat adalah:

$$\begin{equation} \begin{split} V &= \frac{p l(2t)}{6} \\ &= \frac{plt}{3} \\ &= kplt \\ &= \frac{1}{3} plt \end{split} \end{equation}$$

Cara tersebut bisa digunakan untuk mencari volume limas segi apapun. Namun bukan menggunakan balok, tapi menggunakan prisma. Pada prisma apapun jika dibentuk semua diagonal ruang, maka jelas akan terbentuk 6 limas bervolume sama dengan alasnya sama dengan alas prisma.

Rumus volume limas yang lebih umum:

$$V = \frac{1}{3} L_{alas} t$$

# Pembuktian Menggunakan Prisma Segitiga

Terdapat Prisma Segitiga ABCDEF dengan alas ABC. Dalam prisma dapat dibuat piramida dengan alas ABC juga.

Ternyata pada prisma dapat kita buat 3 piramida. Ketiga piramida tersebut adalah:

• Piramida ABCE, alas ABC dan puncak E
• Piramida DEFC, alas DEF dan puncaj C
• Piramida AEFC, alas AEF dan puncak C

Ketiga piramida itu memenuhi ruangan prisma sehingga volume prisma sama dengan jumlah dari volume ketiga piramida:

$$V\ Prisma\ ABCDEF = V\ Piramida\ ABCE + V\ Piramida\ DEFC + V\ Piramida\ AEFC$$

Luas Segitiga ABC dan DEF. Piramida ABCE tingginya dari B ke E. Piramida DEFC tingginya dari D ke C. Jarak dari B ke E dan D ke C adalah sama. Karena luas alas dan tinggi sama, maka piramida ABCE dan DEFC mempunyai volume sama. Maka persamaan di atas berubah menjadi:

$$V\ Prisma\ ABCDEF = 2 \times V\ Piramida\ ABCE + V\ Piramida\ AEFC$$

Piramida ABCE juga bisa dikatakan sebagai piramida ABEC (Alas ABE dan puncak C). Luas Segitiga AEF dan ABE sama. Piramida ABEC tingginya dari B ke C. Piramida AEFC tingginya dari B ke C. Sehingga Volume Piramida ABEC dan AEFC sama. Oleh karena itu Volume Piramida AEFC sama denan Volume Piramida ABCE. Persamaan di atas menjadi:

$$V\ Prisma\ ABCDEF = 3 \times V\ Piramida\ ABCE$$

Jadi Volume dari Piramida ABCE adalah:

$$\begin{equation} \begin{split} V\ Piramida\ ABCE &= \frac{1}{3} \times V\ Prisma\ ABCDEF \\ &= \frac{1}{3} \times Luas\ ABC \times BE \\ &= \frac{1}{3} \times Luas\ Alas \times Tinggi \\ \end{split} \end{equation}$$

Untuk piramida segi empat, kita bisa membelah alasnya menjadi dua segitiga sama luas, sehingga luas segitiga merupakan setengah alas piramida segi empat. Dari kedua segitiga kita bisa membuat dua piramida segitiga dengan puncak sama dengan puncak piramida segi empat. Karena luas alas dan tinggi sama maka kedua piramida segi tiga mempunyai volume sama. Kedua piramida segi tiga volume nya jelas memenuhi volume piramida segi empat.

$$\begin{equation} \begin{split} V\ Piramida\ Segi\ Empat &= 2 \times V\ Piramida\ Segi\ Tiga \\ &= 2 \times \frac{1}{3} \times L\ Alas\ Piramida\ Segitiga \times Tinggi \\ &= 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times L\ Alas \times Tinggi \\ &= \frac{1}{3} \times L\ Alas \times Tinggi \\ \end{split} \end{equation}$$

TODO: Gabungkan dengan yang di atas

# Kerucut

Volume dari kerucut dapat dicari dengan menggunakan Prinsip Cavalieri. Jika luas alas kerucut dan limas sama, maka luas daerah pada ketinggian manapun pada kerucut dan limas adalah sama. Sehingga volume dari kecurut dan limas sama. Maka rumus kerucut adalah:

$$\begin{equation} \begin{split} V &= \frac{1}{3} L_{alas} t \\ &= \frac{1}{3} \pi r^2 t \end{split} \end{equation}$$

# Bola

Luas permukaan bola

1. Luas Area Ring yang diapit $\theta$ dan $d\theta$.

   $$Keliling = 2\pi R \sin \theta \\ Luas = 2\pi R \sin \theta R d\theta \\ = 2\pi R ^2 \sin \theta d\theta$$

2. Luas Area Bayangan Ring pada Permukaan

   $$Luas = Luas\ Ring \times Perbandingan \\ Perbandingan = \frac{R \cos (\theta + d\theta)}{R} \\ = \cos (\theta + d\theta) \\ = 2\pi R ^2 \sin \theta d\theta \times \cos (\theta + d\theta) \\ = 2\pi R^2 \sin \theta \cos (\theta + d\theta) d\theta$$

3. $Luas\ Bayangan = \frac{1}{2}{Luas\ Ring\ Lain}$. Mana Ring lain itu?. $\theta$ merupakan sudut dari ring asal bayangan. $\theta_1$ merupakan ring lain yang luasnya sama dengan luas bayangan ring tadi. $d\theta = d\theta_1$

   $$2\pi R^2 \sin \theta \cos (\theta + d\theta) d\theta = \frac{2\pi R ^2 \sin \theta_1 d\theta_1}{2} \\ 2\pi R^2 \sin \theta \cos (\theta + d\theta) d\theta = \pi R ^2 \sin \theta_1 d\theta_1 \\ 2 \sin \theta \cos (\theta + d\theta) d\theta = \sin \theta_1 d\theta_1 \\ 2 \sin \theta \cos (\theta + d\theta) = \sin \theta_1 \\$$

   Jika $d \theta$ sangat kecil (mendekati 0) maka:

   $$2 \sin \theta \cos (\theta + d\theta) = \sin \theta_1 \\ 2 \sin \theta \cos \theta = \sin \theta_1 \\ \sin (2\theta) = \sin \theta_1 \\$$

   Bisa dikatakan:

   $$\sin (2\theta) = \sin \theta_1 \\ 2\theta = \theta_1 \\ \theta_1 = 2\theta$$

   ~~Jadi luas suatu ring pada bola sama dengan luas bayangan ring yang sudutnya merupakan setengahnya.~~

   $$Luas\ Bayangan\ pada\ \theta = \frac{1}{2}{Luas\ Ring\ Lain\ pada\ \theta_1} \\ = \frac{1}{2}{Luas\ Ring\ pada \ 2\theta}$$

4. Ada hubungan antara semua bayangan ring dari atmosfer utara dengan setiap ring genap dari seluruh ring bola.

   ~~Setiap ring genap dari seluruh ring bola luasnya sama dengan luas bayangan ring yang sudutnya setengahnya.~~

   Luas bayangan dari atmosfer ring utara sama dengan 1/2 dari luas ring yang sudutnya dua kali lipat. Luas bayangan dari atmosfer ring utara sama dengan 1/2 dari luas semua ring genap dari seluruh ring bola. 1/2 dari luas semua ring genap dari seluruh ring bola sama dengan $\pi R^2$. Luas dari semua ring genap dari seluruh ring bola sama dengan $2 \pi R^2$.

   ~~Jumlah luas semua bayangan ring dari atmosfer utara sama dengan jumlah dari luas ring genap dari seluruh ring bola.~~

   ~~Jumlah luas semua bayangan ring dari utara jelas $\pi R^2$, sehingga jumlah dari luas ring genap dari seluruh ring bola adalah $\pi R^2$~~

5. Kenapa ini mengindikasikan jumlah luas semua bayangan dari atmosfer utara merupakan 1/4 dari luas permukaan bola?. Terutama jika $d\theta$ makin kecil.

   Luas ring genap dari seluruh ring bola sama dengan $2 \pi R^2$. Ring genap dari atmosfer utara sama dengan ring ganjil pada atmosfer selatan dan sebaliknya. Sehingga luas ring ganjil dari seluruh ring bola sama dengan $2 \pi R^2$. Oleh karena itu luas permukaan bola adalah $2 \pi R^2 + 2\pi R^2 = 4 \pi R^2$