# Persamaan Sinus

Fungsi sinus akan berulang setelah $\displaystyle{ 360 de gr e e }$ atau $\displaystyle{ 2 \pi ra dia n s }$. Ini berarti

$$\begin{align*} \sin(\theta) & =\sin(x)\\ & =\sin(x+2\pi k)\\ \sin(\theta) & =\sin(\pi-x)\\ & =\sin(\pi-x+2\pi k) \end{align*}$$

$\theta = x + 2\pi k$ atau $\theta = \pi - x + 2\pi k$

# Persamaan Cosinus

$$\begin{align*} \cos(\theta) & =\cos(x)\\ & =\cos(x+2\pi k)\\ \cos(\theta) & =\cos(2\pi-x)\\ & =\cos(2\pi-x+2\pi k)\\ & =\cos(-x+2\pi k)\\ \cos(2\pi-x) & =\cos(-x)=\cos(x) \end{align*}$$

$\theta = x + 2\pi k$ atau $\theta = -x + 2\pi k$

Digabung: $\theta = \pm x + 2\pi k$

# Persamaan Tangen

$$\begin{align*} \tan(\theta) & =\tan(x)\\ & =\tan(x+\pi k) \\ \theta &= x + \pi k \end{align*}$$

$k$ harus berupa bilangan bulat

# Persamaan a cos(x) + b sin(x) = c

Persamaan tersebut mirip dengan:

$$\begin{align*} \cos(x+\theta) & =\cos(\theta)\cos(x)-\sin(x)\sin(\theta)\\ \cos(x-\theta) & =\cos(\theta)\cos(x)+\sin(\theta)\sin(x) \end{align*}$$

Karena $a$ dan $b$ bisa diluar domain cos dan sin, maka harus ada konstanta yang membuat $a$ dan $b$ berada di domain cos dan sin. Ini bisa dilakukan agar bisa mengganti $a$ dengan $\cos(\theta)$, dst.

$$\begin{array}{cccccl} k\cos(\theta) & \cos(x) & + & k\sin(\theta) & \sin(x) & =k\cos(x-\theta)\\ a & \cos(x) & + & b & \sin(x) & =c \end{array}$$

Kita samakan kedua persamaan di atas sehingga kita bisa melakukan pencocokan koefisien.

$$\begin{align*} k\cos(\theta) & =a\\ \cos(\theta) & =\frac{a}{k}\\ k\sin(\theta) & =b\\ \sin(\theta) & =\frac{b}{k}\\ \tan(\theta) & =\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\\ & =\frac{b}{k}\times\frac{k}{a}\\ & =\frac{b}{a} \end{align*}$$

Sekarang kita mencari nilai $k$.

$$\begin{array}{ll|c|llr} k\cos(\theta) & =a & \text{kuadratkan} & k^{2}\cos^{2}(\theta) & =a^{2}\\ k\sin(\theta) & =b & & k^{2}\sin^{2}(\theta) & =b^{2} & +\\ \hline & & & k^{2}(\cos^{2}(\theta)+\sin^{2}(\theta)) & =a^{2}+b^{2}\\ & & & k^{2} & =a^{2}+b^{2}\\ & & & k & =\sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{array}$$

Untuk menyelesaikan $a\cos(x) + b\sin(x) = c$, maka selesaikan $k\cos(x-\theta)=c$, dengan $k=\sqrt{a^2+b^2}$. Untuk mencari nilai $\theta$ selesaikan persamaan berikut: $\cos(\theta) =\dfrac{a}{k}$ atau $\sin(\theta) =\dfrac{b}{k}$ atau $\tan(\theta) =\dfrac{b}{a}$ atau Buat segitiga siku-siku dengan salah satu sudutnya adalah $\theta$, sisi samping $\theta$ adalah $a$, sisi depan $\theta$ adalah $b$ dan sisi miring adalah $c$. Kemudian cari nilai dari $\theta$