# Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0,0)

Pada lingkaran berlaku hubungan seperti berikut:

Bila kita membuat sudut $\displaystyle{ \theta }$, maka akan terbentuk segitiga siku-siku sehingga berlaku hukum Phytagoras.

$$\displaystyle{ x ^{ 2 } + y ^{ 2 } = r ^{ 2 } }$$

Segitiga tersebut jelas akan menyentuh satu titik lingkaran berapapun nilai $\displaystyle{ \theta }$.

# Persamaan Lingkaran yang Berpusat di Titik Tertentu

Bila kita membentuk sudut pusat sebesar $\displaystyle{ \theta }$ dengan salah satu sinar sejajar dengan sumbu x, maka kita bisa membentuk segitiga siku-siku seperti pada gambar. Berapapun besar $\displaystyle{ \theta }$, segitiga siku-siku akan jelas menyentuh satu titik lingkaran. Semua titik lingkaran bisa disentuh oleh segitiga siku-siku. Berlaku hukum Phytagoras seperti berikut:

$$\displaystyle{ \left( x _{ 1 } \right) ^{ 2 } + \left( y _{ 1 } \right) ^{ 2 } = r ^{ 2 } }$$

Berlaku persamaan berikut:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}x & = x _{ p } + x _{ 1 } \\ x _{ 1 } & = x - x _{ p } \\ y & = y _{ p } + y _{ 1 } \\ y _{ 1 } & = y - y _{ p }\end{aligned} }$$

Masukkan kedua persamaan ke hukum Phytagoras

$$\displaystyle{ \left( x - x _{ p } \right) ^{ 2 } + \left( y - y _{ p } \right) ^{ 2 } = r ^{ 2 } }$$

# Persamaan Umum Lingkaran

Persamaan lingkaran biasanya ditulis seperti berikut:

$$\displaystyle{ x ^{ 2 } + y ^{ 2 } + A x + By + C = 0 }$$

A, B, dan C adalah konstanta. Untuk menganalisa maksud dari ketiga konstanta tersebut kita bisa mencoba menghubungkan persamaan di atas dengan persamaan lingkaran yang Berpusat di $\displaystyle{ P \left( x _{ p } , y _{ p } \right) }$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\left( x - x _{ p } \right) ^{ 2 } + \left( y - y _{ p } \right) ^{ 2 } & = r ^{ 2 } \\ x ^{ 2 } - 2 x _{ p } \cdot x + { x _{ p } } ^{ 2 } + y ^{ 2 } - 2 y _{ p } \cdot y + { y _{ p } } ^{ 2 } & = r ^{ 2 }\end{aligned} }$$

Mengurutkan berdasarkan susunan variabel pada persamaan umum. ($x_p$, $y_p$ dan $r$ adalah konstanta)

ParseError: KaTeX parse error: Too many math in a row: expected 1, but got 3.5

Disamakan ($0 = 0$)

$$\displaystyle{ \begin{aligned}A & = - 2 x _{ p } \\ x _{ p } & = - \frac{ 1 }{ 2 } A \\ B & = - 2 y _{ p } \\ y _{ p } & = - \frac{ 1 }{ 2 } B \\ C & = { x _{ p } } ^{ 2 } + { y _{ p } } ^{ 2 } - r ^{ 2 } \\ r ^{ 2 } & = { x _{ p } } ^{ 2 } + { y _{ p } } ^{ 2 } - C \\ & = \left( - \frac{ 1 }{ 2 } A \right) ^{ 2 } + \left( - \frac{ 1 }{ 2 } B \right) ^{ 2 } - C \\ & = \frac{ 1 }{ 4 } A ^{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } B ^{ 2 } - C \\ r & = \sqrt{ \frac{ 1 }{ 4 } A ^{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } B ^{ 2 } - C }\end{aligned} }$$

# Kesimpulan

Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan jari-jari $r$:

$$\displaystyle{ x ^{ 2 } + y ^{ 2 } = r ^{ 2 } }$$

Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(x_p, y_p)$ dan jari-jari $r$:

$$\displaystyle{ \left( x - x _{ p } \right) ^{ 2 } + \left( y - y _{ p } \right) ^{ 2 } = r ^{ 2 } }$$

Persamaan lingkaran umum berbentuk seperti berikut:

$$\displaystyle{ x ^{ 2 } + y ^{ 2 } + A x + By + C = 0 }$$

Lingkaran yang dibentuk oleh persamaan di atas berpusat di $\displaystyle{ \left( - \frac{ 1 }{ 2 } A , - \frac{ 1 }{ 2 } B \right) }$ dan berjari-jari $\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ 1 }{ 4 } A ^{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } B ^{ 2 } - C } }$.