Integral merupakan kebalikan derivatif.

# Definisi

Misalkan kita mempunyai fungsi kecepatan terhadap waktu

$$v(t) = t^2$$

Kita disuruh mencari fungsi yang menunjukkan jarak yang ditempuh pada waktu tertentu. Kita tidak bisa mencarinya dengan $s=vt$ karena nilai $v$ berubah-ubah (tidak konstan). Saat nilai $v$ konstan, maka grafik $v(t)$ berupa garis lurus dan membentuk sebuah persegi panjang. Sehingga untuk mencari jarak yang ditempuh kita bisa menggunakan $s=vt$ yang menunjukkan luas area dibawah garis tersebut. Lalu bagaimana jika nilai $v$ tidak konstan?. Saat nilai $v$ tidak konstan, luas area dibawah fungsi sulit dicari. Kita bisa coba menggunakan derivatif. Kita tahu bahwa kecepatan adalah perusahaan jarak terhadap waktu.

$$v ={ds \over dt} \rightarrow {ds \over dt} = t^2$$

Untuk mencari fungsi $s$ yang memenuhi persamaan, kita bisa coba tebak fungsi yang derivasinya adalah $t^2$

$$\begin{align*} s &= t^3 &\rightarrow {ds \over dt} &= 3t^2\\ s &= {1 \over 3}t^3 &\rightarrow {ds \over dt} &= t^2\\ \end{align*}$$

Maka fungsi yang memenuhi adalah $s(t) = {1 \over 3}t^3$. Namun jika fungsi tersebut kita tambah konstanta derivasinya tidak berubah contoh.

$$\begin{align*} s &= {1 \over 3}t^3 + 1 &\rightarrow {ds \over dt} &= t^2\\ s &= {1 \over 3}t^3 + 20 &\rightarrow {ds \over dt} &= t^2\\ \end{align*}$$

Maka fungsi yang memenuhi adalah $s(t) = {1 \over 3}t^3 + c$ dengan $c$ adalah konstanta. Jika kita analisa, maksud dari $c$ bisa dikatakan sebagai jarak yang sudah ditempuh saat $t=0$ (jarak c). Menurut logika, jarak awal yang ditempuh tidak akan mempengaruhi kecepatan. ${1 \over 3}t^3 + c$ disebut sebagai antiderivatif dari $t^2$. Antiderivatif disebut juga sebagai integral tak tentu. Berikut adalah notasi integral tak tentu:

$$s = \int v dt = \int t^2 dt = {1 \over 3}t^3 + c$$

Hubungannya dengan derivatif:

$$v = {ds \over dt} = t^2$$

Lalu apa hubungan integral dengan luas area dibawah kurva?. Misalkan kita menggambar fungsi $v(t)$

Luas area dibawah kurva/fungsi kecepatan menunjukkan jarak yang ditempuh. Misalkan kita berada pada $t$ kemudian kita mengubah nilai $t$ sebesar $dt$ . Tinggi menunjukkan kecepatan. Perubahan pada luas area dibawah kurva disebut $ds$. Saat $dt$ sangat kecil kita bisa menghiraukan luas segitiga di atas. Jadi $ds = v(t)dt$. Bisa diubah menjadi:

$$v(t)={ds \over dt} \rightarrow s = \int v(t) dt$$

Jadi integral menunjukkan luas area dibawah fungsi/kurva. $ds$ = perubahan luas. $s$ = luas semua.

Integral tak tentu (antiderivatif) menunjukkan luas daerah di bawah suatu kurva. Integral tak tentu dilambangkan dengan:

$$F(x) = \int f(x) dx$$

maka

$${dF \over dx} = f(x)$$

Lalu bagaimana jika suatu kurva berada di bawah sumbu x. Kita bisa menggambar fungsi $f(x)=\sin(x)$ untuk menganalisanya. $F(x) = \int \sin(x)dx$

Pada $x$, luas persegi panjang di dekatnya adalah $f(x)dx$. Nilai $f(x)$ jelas negatif. Sehingga luas daerah tersebut negatif. Karena $f(x)dx=dF$ $\rightarrow$ ${dF \over dx} = f(x)$ $\rightarrow$ $F(x) = \int f(x) dx$ maka integral juga menghitung luas daerah di bawah kurva dengan nilai negatif. Sehingga integral menghitung luas daerah antara kurva dan sumbu x. Jika kurva di bawah sumbu x maka luasnya negatif. Sedangkan jika kurva di atas sumbu x maka luasnya positif.

Apakah ada cara untuk menghitung luas yang ditutupi kurva dan dibatasi dua nilai. Kita bisa mencobanya dengan menggambar fungsi $f(x)$ fungsi sembarang.

Luas daerah yang dibatasi oleh 0 dan $x_0$ adalah $F(x_0)$. Luas daerah yang dibatasi oleh 0 dan $x_1$ adalah $F(x_1)$. Lalu berapa luas daerah yang dibatasi oleh $x_0$ dan $x_1$?. Jadi luasnya bisa dicari dengan luas daerah yang dibatasi oleh 0 dan $x_1$ dikurangi luas daerah yang dibatasi oleh 0 dan $x_0$. Bukankah itu logis menurut intuisi?. Bisa ditulis dengan:

$$L = F(x_1) - F(x_0)$$

Luas daerah tersebut disebut sebagai integral tentu yang dibatasi oleh $x_0$ dan $x_1$. Bisa ditulis sebagai berikut:

$$\int_{x_0}^{x_1}f(x)dx = F(x_1) - F(x_0)$$

Integral tentu menunjukkan daerah yang ditutupi kurva dan dibatasi oleh dua nilai. Integral tentu $f(x)$ yang dibatasi oleh $a$ dan $b$ bisa ditulis dengan

$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$

$a$ = batas bawah $b$ = batas atas Hubungannya dengan derivatif adalah

$${dF \over dx} = f(x)$$

atau

$$F'(x) = f(x)$$

# Aturan Pangkat

Kita akan menggunakan sifat derivatif untuk mencari tahu sifat ini

$$\begin{gather*} {d \over dx}\left(x^n + c\right)= nx^{n-1}\\ \downarrow\\ \int nx^{n-1} = x^n + c\\ \\ \\ {d \over dx}\left({x^n \over n} + c\right)= {1 \over n} nx^{n-1}\\ \downarrow\\ {d \over dx}\left({x^n \over n} + c\right)= x^{n-1}\\ \downarrow\\ \int x^{n-1} = {x^n \over n} + c \end{gather*}$$

Misalkan $m=n-1$ $\rightarrow$ $n=m+1$

$$\begin{align*} \int x^{n-1} &= {x^n \over n} + c \\ \int x^m &= {x^{m+1} \over m+1} + c \\ \end{align*}$$

Aturan pangkat pada integral

$$\int x^n = {x^{n+1} \over n+1} + c$$

# Integral dari Konstanta

Menurut derivatif. $a =$ konstanta.

$$\begin{gather*} {d \over dx}(x + c)=1\\ \downarrow\\ \int 1 dx = x + c\\ \downarrow\\ \int dx = x + c\\ \\ \\ {d \over dx}(ax + c)=a\\ \downarrow\\ \int a dx = ax + c \end{gather*}$$

Misalkan $a =$ konstanta, maka $\int adx = ax + c$ Kasus khusus saat $a=1$, maka $a$ bisa tidak ditulis $\int dx = x + c$

# Perkalian dengan Konstanta

Menurut derivatif. $a =$ konstanta. $f(x)=$ fungsi.

$$\begin{gather*} {d \over dx}(aF(x) + c) = \left(a{dF \over dx}\right)\\ \downarrow\\ \int \left(a{dF \over dx}\right)dx = aF(x) + c \end{gather*}$$

Misalkan:

$$\begin{gather*} {dF \over dx} = f(x)\\ \downarrow\\ \int f(x)dx = F(x) \end{gather*}$$

Maka:

$$\begin{gather*} \int \left(a{dF \over dx}\right)dx = aF(x) + c\\ \downarrow\\ \int af(x)dx = a\int f(x)dx + c \end{gather*}$$

Menurut intuisi. Saat kita mengalikan suatu fungsi dengan konstanta misalknya 3. Maka nilai $y$ akan menjadi 3 kali dari nilai fungsi awal. Jadi, kita hanya membuat fungsi diperbesar 3 kali secara vertikal. Seharusnya luas daerah yang dibatasi fungsi juga 3 kali lebih besar.

$$\int 3f(x)dx = 3 \int f(x)dx$$

Ini juga berlaku saat fungsi dikalikan konstanta lain:

$$\int af(x)dx = a \int f(x)dx$$

Perkalian dengan konstanta pada integral: $\int af(x)dx = a \int f(x)dx$

# Sifat Penjumlahan dan Pengurangan

Secara intuisi, jika kita menjumlahkan dua fungsi. Maka nilai y-nya merupakan penjumlahan nilai kedua fungsi. Sehingga luas daerah di bawah kurva juga merupakan penjumlahan luas daerah dari kedua fungsi.

$$\int f(x) + g(x)dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$$

Begitu juga dengan pengurangan:

$$\int f(x) - g(x)dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$$

Bukti menggunakan turunan:

Misal:

$$\begin{align*} {dF \over dx} = f(x) &\rightarrow \int f(x)dx = F(x)\\ {dG \over dx} = g(x) &\rightarrow \int g(x)dx = G(x)\\ \end{align*}$$

Maka:

$$\begin{gather*} {d(F(x) + G(x)) \over dx} = {dF \over dx} + {dG \over dx}\\ \downarrow\\ \int \left( {dF \over dx} + {dG \over dx} \right) dx = F(x) + G(x)\\ \downarrow\\ \int \left( f(x) + g(x) \right) dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx\\ \end{gather*}$$

$$\begin{gather*} {d(F(x) - G(x)) \over dx} = {dF \over dx} - {dG \over dx}\\ \downarrow\\ \int \left( {dF \over dx} - {dG \over dx} \right) dx = F(x) - G(x)\\ \downarrow\\ \int \left( f(x) - g(x) \right) dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx\\ \end{gather*}$$

Penjumlahan dan pengurangan pada integral

$$\begin{align*} \int \left( f(x) + g(x) \right) dx &= \int f(x)dx + \int g(x)dx\\ \int \left( f(x) - g(x) \right) dx &= \int f(x)dx - \int g(x)dx \end{align*}$$

# Subtitusi u (u-sub)

Teknik ini merupakan kebalikan dari aturan rantai pada turunan.

$$\begin{gather*} {dF \over dx} = f(x)\\ \downarrow\\ \int f(x)dx = F(x)\\ \\ \\ {d(F(G(x))) \over d(G(x))} = f(G(x))\\ \downarrow\\ \int f(G(x))d(G(x)) = F(G(x))\\ \\ \\ {dG \over dx} = g(x)\\ \downarrow\\ \int g(x)dx = G(x) \\ \\ {d \over dx}\left( F(G(x))\right) = {d(F(G(x))) \over d(G(x))} \cdot {dG \over dx}\\ \downarrow\\ \int {d(F(G(x))) \over d(G(x))} \cdot {dG \over dx}dx = F(G(x))\\ \downarrow\\ \int f(G(x))\cdot g(x)dx = \int f(G(x))d(G(x))\\ \end{gather*}$$

Agar lebih sederhana kita misalkan $u=G(x)$ sehingga $u' = g(x)$

$$\int f(u)\cdot u'dx = \int f(u)du$$

Pada Integral tentu berlaku aturan khusus yaitu perubahan batas:

$$\begin{gather*} \int f(G(x))d(G(x)) = F(G(x))\\ \downarrow\\ \int_a^b f(G(x))d(G(x)) = F(b) - F(a)\\ \downarrow\\ \int_{G(a)}^{G(b)} f(G(x))d(G(x)) = F(G(b)) - F(g(a)) \end{gather*}$$

Mengapa perubahan dari baris 1 ke 2 bisa begitu?
Ketika kita mempunyai integral $\int_a^b$ dengan akhir $dx$ maka $x$ diganti $a$ atau $b$. Ketika kita mempunyai integral dengan akhir $d(G(x))$ maka $G(x)$ maka $G(x)$ diganti $a$ atau $b$ Bukti lain:

$$\begin{gather*} \int f(x)dx = F(x)\\ \downarrow\\ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\\ \downarrow\\ \int_a^b f(G(x))d(G(x)) = F(b) - F(a) \end{gather*}$$

$$\begin{gather*} \\ \\ \int {d(F(G(x))) \over d(G(x))} \cdot {dG \over dx}dx = F(G(x))\\ \downarrow\\ \int_a^b {d(F(G(x))) \over d(G(x))} \cdot {dG \over dx}dx = F(G(b)) - F(G(a)) \\ \downarrow\\ \int_a^b f(G(x))\cdot g(x)dx = F(G(b)) - F(G(a))\\ \downarrow\\ \int_a^b f(G(x))\cdot g(x)dx = \int_{G(a)}^{G(b)} f(G(x))d(G(x))\\ \downarrow\\ \int_a^b f(u)\cdot u'dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du\\ \end{gather*}$$

Teknik subtitusi merupakan teknik pada integral. Kita harus memilih $u$ dari dalam integral. Kemudian $du$ harus bisa menyederhanakan integral. $\int f(u)\cdot u'dx = \int f(u)du$ $\int_a^b f(u)\cdot u'dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du$

Contoh: $\int_{0}^{2} 2\sqrt{5-2x} dx$

$$\begin{aligned} u & =5-2x\\ u( 0) & =5-0\\ & =5\\ u( 1) & =5-2\cdot 2\\ & =1\\ \frac{du}{dx} & =-2\\ dx & =\frac{-du}{2}\\ \int_{0}^{2} 2\sqrt{5-2x} dx & =\int _{5}^{1} 2\sqrt{u} \cdot \frac{-du}{2}\\ & =-\int _{5}^{1} u^{\frac{1}{2}} du\\ & =-\left(\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right)\Bigl|_{5}^{1}\\ & =-\frac{2}{3}\left( 1^{\frac{3}{2}} -5^{\frac{3}{2}}\right)\\ & =\frac{2}{3}\left( 5^{\frac{3}{2}} -1\right)\\ & =\frac{2}{3}\left(\sqrt{5^{3}} -1\right)\\ & =\frac{2}{3}\left(\sqrt{5^{2} 5} -1\right)\\ & =\frac{2}{3}\left( 5\sqrt{5} -1\right) \end{aligned}$$

# Hubungan integral tak tentu dengan integral tentu

Seharusnya ada hubungan dari dua integral tersebut

$$\begin{align*} {dF \over dx} = f(x) &\rightarrow \int f(x)dx = F(x)\\ &\rightarrow \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \end{align*}$$

$$\begin{align*} \int_a^b f(x)dx &= \left(\int f(x)dx\right)(b) - \left(\int f(x)dx\right)(a)\\ &= \left(\int f(x)dx\right) \Big|_a^b\\ F(x)\Big|_a^b &= F(b) - F(a) \end{align*}$$

Maksud yang harus berhati hati adalah notasi $\Big|_a^b$. Berikut contoh yang berisi paradoks:

Mengintegrasikan $\int_{0}^{2} 2\sqrt{5-2x} dx$

$$\begin{aligned} u & =5-2x\\ \frac{du}{dx} & =-2\\ dx & =\frac{-du}{2}\\ \int_{0}^{2} 2\sqrt{5-2x} dx & =\left(\int 2\sqrt{5-2x} dx\right)\Bigl|_{0}^{2}\\ & =\left(\int 2\sqrt{u} \cdot \frac{-du}{2}\right)\Bigl|_{0}^{2}\\ & =\left(\int -u^{\frac{1}{2}} du\right)\Bigl|_{0}^{2}\\ & =\left( -\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right)\Bigl|_{0}^{2}\\ & =-\frac{2}{3}\left( 2^{\frac{3}{2}} -0^{\frac{3}{2}}\right)\\ & =-\frac{2}{3}\left( 2^{\frac{3}{2}}\right)\\ & =-\frac{2}{3}\left(\sqrt{2^{3}}\right)\\ & =-\frac{2}{3}\left( 2\sqrt{2}\right)\\ & =-\frac{4\sqrt{2}}{3} \end{aligned}$$

Mengapa hasilnya berbeda? Karena kita mengubah $dx$ menjadi $du$ atau dengan kata lain variabel yang kita integralkan berubah. Seharusnya batas bawah dan atas berubah berdasarkan hubungan $x$ dan $u$

$$\begin{aligned} \int\limits _{0}^{2} 2\sqrt{5-2x} dx & =\left(\int 2\sqrt{5-2x} dx\right)\Bigl|_{0}^{2}\\ & =\left(\int -u^{\frac{1}{2}} du\right)\Bigl|_{u( 0)}^{u( 2)}\\ & =\left( -\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right)\Bigl|_{5}^{1}\\ & =\frac{2}{3}\left( 5\sqrt{5} -1\right) \end{aligned}$$

Atau kita bisa menggunakan notasi yang lebih spesifik dan jelas sehingga tidak memerlukan perubahan.

$$\int_a^b f(x)dx = \left(\int f(x)dx\right) \Big|_{x=a}^{x=b}\\$$

$$\begin{aligned} \int _{0}^{2} 2\sqrt{5-2x} dx & =\left(\int 2\sqrt{5-2x} dx\right)\Bigl|_{x=0}^{x=2}\\ & =\left(\int 2\sqrt{u} \cdot \frac{-du}{2}\right)\Bigl|_{x=0}^{x=2}\\ & =\left(\int -u^{\frac{1}{2}} du\right)\Bigl|_{x=0}^{x=2}\\ & =\left( -\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right)\Bigl|_{x=0}^{x=2}\\ & =\left( -\frac{2}{3}( 5-2x)^{\frac{3}{2}}\right)\Bigl|_{x=0}^{x=2}\\ & =-\frac{2}{3}\left(( 5-2\cdot 2)^{\frac{3}{2}} -( 5-2\cdot 0)^{\frac{3}{2}}\right)\\ & =-\frac{2}{3}\left( 1^{\frac{3}{2}} -5^{\frac{3}{2}}\right)\\ & =\frac{2}{3}\left( 5\sqrt{5} -1\right) \end{aligned}$$

Integral tentu mempunyai hubungan dengan integral tak tentu dan bisa dituliskan

$$\displaystyle{ \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} = \left( \int f \left( x \right) {\text{d}x} \right) \Bigg| _{ x = a } ^{ x = b } }$$

# Sifat Integral Tentu

# Penggantian Batas

Misalkan $\displaystyle{ a , b , c \in \mathbb{R} }$ maka seharusnya berlaku:

$$\displaystyle{ \int _{ a } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x} = \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} + \int _{ b } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x} }$$

Menurut intuisi misalkan $\displaystyle{ b }$ diantara $\displaystyle{ a }$ dan $\displaystyle{ c }$. Berarti luas daerah yang dibatasi $\displaystyle{ a }$ dan $\displaystyle{ c }$ sama dengan luas daerah yang dibatasi $\displaystyle{ a }$ dan $\displaystyle{ b }$ ditambah luas daerah yang dibatasi $\displaystyle{ b }$ dan $\displaystyle{ c }$. Ilustrasi

$$\displaystyle{ \int _{ a } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x} = \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} + \int _{ b } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x} }$$

Menurut intuisi mungkin $\displaystyle{ b }$ harus berada di antara $\displaystyle{ a }$ dan $\displaystyle{ c }$ namun itu tidak berlaku. Saat $\displaystyle{ b > c }$, $\displaystyle{ \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} }$ bisa lebih dari $\displaystyle{ \int _{ a } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x} }$, namun $\displaystyle{ \int _{ b } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x} }$ akan bernilai negatif. Namun jika ternyata $\displaystyle{ \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} < \int _{ a } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x} }$, maka $\displaystyle{ \int _{ b } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x} }$ akan bernilai positif. Begitu juga saat $\displaystyle{ b < a }$,

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} & = \cancel{ F \left( b \right) } - F \left( a \right) \\ \int _{ b } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x} & = F \left( c \right) - \cancel{ F \left( b \right) } \quad + \\ \hline \\ \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} + \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} & = F \left( c \right) - F \left( a \right) \\ & = \int _{ a } ^{ c } f \left( x \right) {\text{d}x}\end{aligned} }$$

Secara intuisi juga berlaku:

$$\displaystyle{ \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} = - \int _{ b } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} }$$

Bukti:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} & = F \left( b \right) - F \left( a \right) \\ & = - \left( F \left( a \right) - F \left( b \right) \right) \\ & = - \int _{ b } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x}\end{aligned} }$$

Secara intuisi juga luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu $\displaystyle{ x }$ antara $\displaystyle{ a }$ dan $\displaystyle{ a }$ adakah 0 karena batas awal dan bawah sama. Bukti:

$$\displaystyle{ \int _{ a } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} = F \left( a \right) - F \left( a \right) = 0 }$$

Sifat integral tentu Penggantian batas:

$$\displaystyle{ \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} = - \int _{ b } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} }$$

Penambahan interval:

$$\displaystyle{ \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} = \int _{ a } ^{ b } f \left( x \right) {\text{d}x} + \int _{ a } ^{ b } }$$

Batas sama:

$$\displaystyle{ \int _{ a } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} = F \left( a \right) - F \left( a \right) = 0 }$$

# Sifat Pada Fungsi Genap

Fungsi genap adalah fungsi yang grafiknya terjadi refleksi oleh sumbu $\displaystyle{ y }$. Sehingga berlaku:

$$\displaystyle{ f \left( x \right) = f \left( - x \right) }$$

Contoh grafiknya adalah seperti berikut:

Secara intuisi seharusnya berlaku:

$$\displaystyle{ \int _{ - a } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} = 2 \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} }$$

Bukti:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\int _{ - a } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} & = \int _{ - a } ^{ 0 } f \left( x \right) {\text{d}x} + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = - \int _{ 0 } ^{ - a } f \left( x \right) {\text{d}x} + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = - \int _{ 0 } ^{ - a } f \left( - x \right) {\text{d}x} + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x}\end{aligned} }$$

Misalkan $\displaystyle{ u = - x }$ $\displaystyle{ \rightarrow }$ $\displaystyle{ d u = - {\text{d}x} }$.

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\int _{ 0 } ^{ - a } f \left( - x \right) {\text{d}x} & = \int _{ u \left( 0 \right) } ^{ u \left( - a \right) } f \left( u \right) \cdot - \text{d} u \\ & = \int _{ 0 } ^{ a } f \left( u \right) \cdot - \text{d} u \\ & = - \int _{ 0 } ^{ a } f \left( u \right) \text{d} u\end{aligned} }$$

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\int _{ - a } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} & = - \int _{ 0 } ^{ - a } f \left( - x \right) {\text{d}x} + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = - \left( - \int _{ 0 } ^{ a } f \left( u \right) \text{d} u \right) + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = \int _{ 0 } ^{ a } f \left( u \right) \text{d} u + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) \text{d} x + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = 2 \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x}\end{aligned} }$$

$\displaystyle{ \int _{ 0 } ^{ a } f \left( u \right) \text{d} u = \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} }$ karena hanya perbedaan nama variabel. Bukti

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\int _{ 0 } ^{ a } f \left( u \right) \text{d} u & = \left( F \left( u \right) \right) \Big| _{ u = 0 } ^{ u = a } \\ & = F \left( a \right) - F \left( 0 \right) \\ \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} & = \left( F \left( x \right) \right) \Big| _{ x = 0 } ^{ x = a } \\ & = F \left( a \right) - F \left( 0 \right)\end{aligned} }$$

# Sifat Pada Fungsi Ganjil

Fungsi ganjil adalah fungsi yang grafiknya grafiknya seperti terjadi refleksi oleh titik 0. Sehingga berlkau:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}& f \left( x \right) = - f \left( - x \right) \\ & \text{atau} \\ & f \left( - x \right) = - f \left( x \right)\end{aligned} }$$

Contoh grafiknya seperti berikut:

Secara intuisi seharusnya berlaku:

$$\displaystyle{ \int _{ - a } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} = 0 }$$

Bukti:

$$\displaystyle{ \begin{aligned}\int _{ - a } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} & = \int _{ - a } ^{ 0 } f \left( x \right) {\text{d}x} + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = - \int _{ 0 } ^{ - a } f \left( x \right) {\text{d}x} + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = - \int _{ 0 } ^{ - a } - f \left( - x \right) {\text{d}x} + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = \int _{ 0 } ^{ - a } f \left( - x \right) {\text{d}x} + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = - \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} + \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} \\ & = 0\end{aligned} }$$

Integral tentu dari fungsi yang simetri. Jika $\displaystyle{ f \left( x \right) }$ = fungsi genap

$$\displaystyle{ \int _{ - a } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} = 2 \int _{ 0 } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} }$$

Jika $\displaystyle{ f \left( x \right) }$ = fungsi ganjil

$$\displaystyle{ \int _{ - a } ^{ a } f \left( x \right) {\text{d}x} = 0 }$$